Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 61 стр.

                                     H1 : σ X2 > σ Y2 .              (5.56)      xпр ,α = f 0.95 (8,12) = 2.85 (l = n1 − 1 = 9 − 1 = 8; k = m1 − 1 = 13 − 1 = 12).
В этом случае критическая область представляет собой интервал                  Так как K наб < 2.85 , то принимается гипотеза H 0 : σ X2 = σ Y2 . ☻
( xпр,α ,+∞) , где точка xпр,α определяется из условия                             2. Альтернативная гипотеза Н1 имеет вид
                                                                                                         H1 : σ X2 ≠ σ Y2 .                        (5.58)
                           P ( Fl , k > xпр,α ) = α .
                                                                               В этом случае критическая область состоит из двух интервалов
Исходя из этого условия, найдем xпр ,α . В табл. П5 приведены зна-             (0, x лев ,α / 2 ) , ( xпр,α / 2 ,+∞ ) , где точки x лев ,α / 2 и xпр,α / 2 опреде-
чения f γ (l , k ) , удовлетворяющие условию                                   ляются следующими соотношениями (докажите это):

                                                                                          x лев,α / 2 =          1         ;
                     P ( Fl ,k < f γ (l , k )) = γ = 1 − α .                                               f1−α / 2 (l ,k ) xпр ,α / 2 = f1−α / 2 (l , k ) , (5.59)
Тогда, задавая γ = 1 − α , приходим к соотношению                              в которых, как и прежде, значения fγ (l , k ) находятся по табл. П5.
                           xпр,α = f γ (l , k ).                     (5.57)         При попадании числового значения K наб (5.54) в интервал
    Перейдем к проверке гипотезы H 0 . В соответствии с выраже-                (0, x лев ,α / 2 ) или ( xпр,α / 2 ,+∞ ) принимается гипотеза Н1 (5.58);
ниями                                                                          если K наб попадает в интервал [ x лев ,α / 2 , xпр ,α / 2 ] , то принимает-
                  1 n                             1 m
         s X2 =      ∑
                n − 1 i =1
                           ( xi − xв ) 2 , sY2 =      ∑
                                                 m − 1 j =1
                                                            ( y j − yв ) 2 ,   ся гипотеза Н0 (5.52).

где xi , y j – выборочные значения, xв , y в – значения выборочных                   ♦ Пример 5.10. По двум независимым выборкам, объемы ко-
                                                                               торых n = 13, m = 15 , извлеченным из нормальных генеральных со-
средних, находим s X2 , sY2 . Подставляя эти значения в (5.54), вычис-
                                                                               вокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии
ляем числовое значение критерия K наб . Если K наб > xпр ,α , то               s X2 = 1.05, sY2 = 0.35 . При уровне значимости α = 0.10 проверить
гипотеза Н 0 (5.52) отвергается и принимается гипотеза H 1 . При               гипотезу H 0 : σ X2 = σ Y2 при конкурирующей гипотезе H1 : σ X2 ≠ σ Y2 .
этом можно совершить ошибку первого рода с вероятностью α .                         Решение. Вычислим K наб = s X2 sY2 =1.05 0.35 = 3. Количество
Если K наб < x пр ,α , то принимается гипотеза Н 0 .                           степеней свободы l = 13 − 1 = 12; k = 15 − 1 = 14 . По табл. П5 для
     ♦ Пример 5.9. По двум независимым выборкам объемов                        γ = 1 − α / 2 = 0.95 , l = 12, k = 14 находим f 0.95 (12,14) = 2.53 . Тогда,
n = 9, m = 13 , извлеченным из нормальных генеральных совокуп-                 используя (5.59), получаем
ностей, найдены исправленные дисперсии s X2 = 12, sY2 = 6 . При                                   x лев ,α / 2 = 1 2.53 = 0.395 ; xпр ,α / 2 = 2.53 .
уровне значимости           α = 0.05 проверить нулевую гипотезу                Так как K наб = 3 > 2.53 , то гипотеза H 0 : σ X2 = σ Y2 отвергается и
H 0 : σ X2 = σ Y2 при альтернативной H1 : σ X2 > σ Y2 .                        принимается гипотеза H1 : σ X2 ≠ σ Y2 . ☻
      Решение. Вычислим значение критерия по формуле (5.54):                        В заключение сделаем следующее замечание. Выше, в п. 5.2,
K наб = 12 / 6 = 2 . В соответствии с соотношением (5.57) находим              5.3, 5.5, 5.7, предполагалась нормальность распределения иссле-
                                                                               дуемых случайных величин Х и Y. Однако приведенные критерии
точку
                                      123                                                                              124