Составители:
Рубрика:
127
Возникает вопрос о критерии проверки по выборочным дан-
ным гипотезы о том, что случайная величина Х подчиняется рас-
пределению с плотностью
)(xpy = . Такие критерии называются
критериями согласия. Рассмотрим лишь один критерий согласия,
использующий
χ
2
-распределение и получивший название критерия
согласия Пирсона (или критерия
χ
2
). Выдвигая гипотезу о виде
распределения генеральной совокупности, мы должны различать
два случая. В первом из них вид функции плотности определен в
гипотезе полностью. Например, мы выдвигаем гипотезу о том, что
генеральная совокупность распределена по нормальному закону с
параметрами
0
=
a
и 1
=
σ
. Такие гипотезы называются просты-
ми. Если же гипотеза состоит лишь в том, что функция плотности
р(х) принадлежит к некоторому семейству функций, то такая гипо-
теза называется сложной. Например, можно выдвинуть гипотезу о
том, что генеральные совокупности распределены по показатель-
ному закону, не оговаривая значений параметров
λ
и
0
x . Такая
гипотеза будет сложной.
Остановимся вначале на простой гипотезе, предполагая, что
генеральная совокупность распределена непрерывно. В качестве
нулевой гипотезы принимается предположение, что неизвестная
плотность распределения р
X
(х) исследуемой случайной величины
Х совпадает с предполагаемой плотностью р(х), т.е.
0
:() ()
X
H
px px= . (5.60)
В качестве предполагаемой (теоретической) плотности могут
быть рассмотрены различные плотности (нормальная, показатель-
ная и т.д). Выберем наименьшее и наибольшее значения в данной
выборке:
},...,max{},,...,min{
11 nn
xxbxxa == . Промежуток
],[ ba разобьем на l промежутков равной длины
l
ab
h
−
=
. Гра-
ницы этих промежутков обозначим
01
, ,...,
l
zaz zb
=
=
, где
hzz
ii
+=
+1
при 1,...,0 −
=
li . Считаем, что гипотеза верна. Вы-
числим частоту
),...,1( lim
i
=
попадания элементов генеральной
совокупности на каждый промежуток. Понятно, что
128
nm...mm
l
=
+
+
+
21
. Сдвинем границу левого интервала на –∞, а
правого на +∞, т.е. вместо первого интервала
),(
10
zz рассмотрим
интервал
);(
1
z
−
∞ , а вместо последнего ),(
1 ll
zz
−
– интервал
),(
1
∞
−l
z . Вычислим вероятность попадания случайной величины
Х на каждый из полученных промежутков
l
Δ
Δ
,...,
1
, воспользо-
вавшись известной формулой:
( ) , 1, 2,..., .
i
i
p
pxdx i l
Δ
==
∫
Заметим, что первый и последний из интегралов являются не-
собственными. Полученные вероятности p
1
,…, p
n
должны удовле-
творять условию p
1
+ p
2
+ … + p
n
= 1.
Рассмотрим п опытов, каждый из которых состоит в выборе
случайного значения величины Х и события
i
A = {значение попа-
ло в интервал
i
Δ
}. Событие
i
A в каждом опыте происходит с ве-
роятностью
i
p . Поэтому ожидаемое количество появлений собы-
тия А в п опытах равно
i
np (математическое ожидание биномиаль-
ного распределения). Понятно, что если гипотеза верна, то между
фактическими частотами
i
m и теоретическими
i
np попаданий на
i-й интервал не должно быть "больших" расхождений, т.е. величи-
ны
l
npnp ,...,
1
и числа
l
mm ,...,
1
должны быть соответственно
близки друг к другу. В качестве меры расхождения между ними
используем сумму квадратов взвешенных расхождений:
i
ii
i
np
npm
Y
−
= .
Случайная величина
∑
−
∑
=
==
l
i
i
ii
l
i
i
np
npm
Y
1
2
1
2
)(
при большом объеме
выборки
n имеет распределение, близкое к
χ
2
с
)1(
−
l
степенями
свободы. Поэтому эта случайная величина принимается за крите-
рий
Возникает вопрос о критерии проверки по выборочным дан- m1 + m2 + ... + ml = n . Сдвинем границу левого интервала на –∞, а
ным гипотезы о том, что случайная величина Х подчиняется рас-
правого на +∞, т.е. вместо первого интервала ( z0 , z1 ) рассмотрим
пределению с плотностью y = p (x ) . Такие критерии называются
критериями согласия. Рассмотрим лишь один критерий согласия, интервал ( −∞; z1 ) , а вместо последнего ( zl −1 , zl ) – интервал
использующий χ2-распределение и получивший название критерия ( zl −1 , ∞) . Вычислим вероятность попадания случайной величины
согласия Пирсона (или критерия χ2). Выдвигая гипотезу о виде
Х на каждый из полученных промежутков Δ1 ,..., Δ l , воспользо-
распределения генеральной совокупности, мы должны различать
два случая. В первом из них вид функции плотности определен в вавшись известной формулой:
гипотезе полностью. Например, мы выдвигаем гипотезу о том, что
генеральная совокупность распределена по нормальному закону с
pi = ∫ p( x)dx,
Δi
i = 1, 2,..., l.
параметрами a = 0 и σ = 1 . Такие гипотезы называются просты-
Заметим, что первый и последний из интегралов являются не-
ми. Если же гипотеза состоит лишь в том, что функция плотности
собственными. Полученные вероятности p1,…, pn должны удовле-
р(х) принадлежит к некоторому семейству функций, то такая гипо-
творять условию p1 + p2 + … + pn = 1.
теза называется сложной. Например, можно выдвинуть гипотезу о
том, что генеральные совокупности распределены по показатель- Рассмотрим п опытов, каждый из которых состоит в выборе
ному закону, не оговаривая значений параметров λ и x0 . Такая случайного значения величины Х и события Ai = {значение попа-
гипотеза будет сложной. ло в интервал Δ i }. Событие Ai в каждом опыте происходит с ве-
Остановимся вначале на простой гипотезе, предполагая, что роятностью pi . Поэтому ожидаемое количество появлений собы-
генеральная совокупность распределена непрерывно. В качестве
тия А в п опытах равно npi (математическое ожидание биномиаль-
нулевой гипотезы принимается предположение, что неизвестная
плотность распределения рX (х) исследуемой случайной величины ного распределения). Понятно, что если гипотеза верна, то между
Х совпадает с предполагаемой плотностью р(х), т.е. фактическими частотами mi и теоретическими npi попаданий на
H 0 : p X ( x) = p( x) . (5.60) i-й интервал не должно быть "больших" расхождений, т.е. величи-
ны np1 ,..., npl и числа m1 ,..., ml должны быть соответственно
В качестве предполагаемой (теоретической) плотности могут
быть рассмотрены различные плотности (нормальная, показатель- близки друг к другу. В качестве меры расхождения между ними
ная и т.д). Выберем наименьшее и наибольшее значения в данной используем сумму квадратов взвешенных расхождений:
выборке: a = min{x1 ,..., x n }, b = max{x1 ,..., x n } . Промежуток mi − npi
Yi = .
b−a npi
[a, b] разобьем на l промежутков равной длины h = . Гра-
l l ( mi − npi ) 2
l
ницы этих промежутков обозначим z0 = a, z1 ,..., zl = b , где Случайная величина ∑ Yi2 = ∑ при большом объеме
i =1 i =1 npi
zi +1 = zi + h при i = 0,..., l − 1 . Считаем, что гипотеза верна. Вы- выборки n имеет распределение, близкое к χ2 с (l − 1) степенями
числим частоту mi (i = 1,..., l ) попадания элементов генеральной свободы. Поэтому эта случайная величина принимается за крите-
совокупности на каждый промежуток. Понятно, что рий
127 128
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
