Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 65 стр.

    Таким образом, числовое значение K наб = 2.9. Для заданного               дено xв , s 2 = 94.26 . При уровне значимости α = 0.02 проверить ги-
уровня   значимости     α = 0.05   находим       γ = 1 − α = 0.95 ,           потезу о нормальности распределения генеральной совокупности.
χ 2 = (0.95,7) = 14.1 . Так как K наб < xпр ,α , то гипотеза Н0 (5.60) при-                                                            Таблица 5.2
                                                                               Но-
нимается. ☻                                                                    мер Границы           z −x      ⎛ z i −1 − xв ⎞          (mi − npi ) 2
                                                                               ин- интер- mi i −1 в Φ ⎜                      ⎟ pi npi
     Обычной является ситуация, когда предполагается лишь, что                                          s      ⎝       s     ⎠              npi
                                                                               тер- валов
распределение генеральной совокупности принадлежит некоторо-                   вала
му классу распределений. Например, генеральная совокупность
распределена нормально. В этой гипотезе не оговорены значения                   1       2        3      4             5        6   7         8
параметров а и σ . Отличие в применении критерия χ2 в этом слу-                 1   [–20,15] 7       –1.99     –0.4767     0.023 4.66       1.18
чае от ранее рассмотренного состоит в том, что нет возможности
сразу вычислить значения вероятностей. Поэтому вначале находят                  2   [–15,10] 11      –1.47     –0.4292     0.047 9.50       0.24
оценки неизвестных параметров. Например, для оценки параметра
а, как известно, можно использовать случайную величину Х в и                    3   [–10,–5] 15      –0.96     –0.331      0.098 19.54      1.05
заменить а ее значением, т.е. а = xв .
                                                                                4     [–5,0]   24    –0.44     –0.1700     0.162 32.30      2.13
    В качестве оценки параметра σ2 можно выбрать исправленную
дисперсию S 2 и заменить σ2 ее значением s 2 . Таким образом,                   5     [0,5]    49    0.07      0.0279      0.198 39.58      2.24
                                               ( x − xв )2
                                    1      −
                                                                                6     [5,10]   41    0.59       0.222      0.194 38.90      0.11
                           р ( x) =      e        2 s2
                                                             .
                                    2π s
                                                                                7    [10,15] 26      1.10       0.364      0.142 28.38      0.20
     В качестве критерия также принимается случайная величина
(5.61). Если гипотеза Н0 справедлива, то критерий имеет χ2-распре-              8    [15,20] 17      1.62      0.4474      0.083 16.62      0.01
деление с k степенями свободы. Однако количество степеней сво-
боды критерия подсчитывается по формуле l − r − 1 , где r – коли-               9    [20,25]    7    2.13      0.4834      0.053 10.52      0.03
чество параметров, оцененных по выборке. В рассмотренном при-
мере r = 2, так как по выборке были оценены два параметра а и σ .              10    [25,30]    3     +∞         0.5
В этом же примере вероятность pi попадания случайной величи-
ны X в интервал [z i −1 , z i ] находится с помощью функции Лапласа             ∑              200                           1    200.0     7.19

                                               ⎛z −x ⎞     ⎛z −x ⎞                                           ⎛ z − xв ⎞     ⎛z −x ⎞
        pi = P( zi −1 < N ( xв , s) < zi ) = Φ ⎜ i в ⎟ − Φ ⎜ i −1 в ⎟ .           Решение. Так как pi = Φ ⎜ i           − Φ ⎜ i −1 в ⎟ , то в графе 4
                                               ⎝ s ⎠       ⎝ s ⎠                                                      ⎟
                                                                                                             ⎝ s ⎠          ⎝     s  ⎠
    ♦ Пример 5.12. Группированный статистический ряд частот                                       zi −1 − x
                                                                              вычислены значения            . При этом левая граница первого ин-
занесен в графы 2 и 3 табл. 5.2. По выборке объема n = 200 най-                                        s
                                     131                                                                       132