Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 67 стр.

pi = P( X = ai ) . Аналогично n• j n – состоятельная и несмещен-                                ♦ Пример 5.13. Комплектующие изделия одного наименова-
                                                                                            ния поступают с трех предприятий: 1, 2, 3. Результаты проверки
ная оценка вероятности p ′j = P (Y = b j ) . Если гипотеза H 0 верна,                       изделий приведены в табл. 5.3.
то ожидаемое количество попаданий в клетку (i, j ) можно найти                                                                                                 Таблица 5.3
                         ni• n• j       ni• n• j
по формуле nij′ = n ⋅               =              (как математическое ожида-
                           n   2
                                           n                                                        Результаты                Поставщик
                                                                                                     проверки                                                      Всего
ние случайной величины, распределенной по биномиальному за-                                                              1             2           3
                                                                                                     изделий
                                        ni• n• j                       ni• n• j
кону с параметрами n и p =                     2
                                                   ) и числа nij ,                близки        Годные                  29             38          53               120
                                           n                              n
друг к другу в совокупности. В качестве критерия примем случай-                                 Негодные                 1             2           7                    10
ную величину                                                                                    Всего                   30             40          60               130
                                                      2
                                ⎛     ( ni •n• j ) ⎞
                        l s ⎜ nij −                ⎟                                            Можно ли считать, что качество изделий не зависит от по-
                  K = ∑∑        ⎝           n      ⎠ .                             (5.65)   ставщика? Уровень значимости принять равным 0.05.
                      i =1 j =1   ni• n• j n                                                    Решение. Находим наблюдаемое значение критерия:

                                                                                                        ( 29 − 120 ⋅ 30 ) ( 38 − 120 ⋅ 40 ) ( 53 − 120 ⋅ 60 )
                                                                                                                        2                      2                             2
Если гипотеза H 0 справедлива, то эта случайная величина имеет
                                                                                              K наб   =         130      +         130     +         130                         +
χ2-распределение с k = (l − 1)( s − 1) степенями свободы, т.е.                                              120 ⋅ 30              120 ⋅ 40                    120 ⋅ 60
                                                                                                             130                    130                         130
                                                                                                                                                                                     (5.67)
                            K = χ (2l −1)( s −1) .                                 (5.66)
                                                                                                (             ) (                 ) (                 )
                                                                                                              2                   2                       2
                                                                                                1 − 10 ⋅ 30         2 − 10 ⋅ 40         7 − 10 ⋅ 60
                                                                                              +      130          +      130          +      130              = 2.55.
     Критическая область представляет собой отрезок ( xпр ,+∞) , где                               10 ⋅ 30            10 ⋅ 40             10 ⋅ 60
                                                                                                    130                 130                 130
точка хпр,α определяется соотношением xпр ,α = χ 2 (1 − α ,(l − 1)( s − 1)) .
                                                                                                 По табл. П3 для числа степеней свободы k = (l − 1)( s − 1) =
     Если числовое значение критерия K наб , найденное по форму-
                                                                                            = ( 2 − 1)(3 − 1) = 2 и α = 0.05 находим χ 2 (0.95,2) = 6 , xпр ,α = 6 .
ле (5.65), попадает в критическую область, т.е. K наб > xпр ,α , то
                                                                                            Так как K наб < 6 , то можно принять гипотезу H 0 о независимо-
нулевая гипотеза о независимости X и Y отвергается.
                                                                                            сти качества изделий от поставщика. ☻
    Заметим, что вместо ограничения npi ≥ 10 , указанного в
                                                            ni• n• j                             5.11. Проверка статистических гипотез в Excel
п. 5.9, здесь желательно выполнение условия                            ≥ 4 . Если это            В табличном процессоре Excel определены несколько функ-
                                                               n
                                                                                            ций и режимов работы Пакета анализа, которые можно использо-
условие не выполняется, то соответствующие строки и столбцы
                                                                                            вать для проверки различных статистических гипотез.
должны быть объединены с соседними.
                                          135                                                                                          136