Составители:
Рубрика:
129
∑
−
=
=
l
i
i
ii
np
npm
K
1
2
)(
. (5.61)
Если гипотеза Н
0
(5.60) справедлива, то критерий K имеет
χ
2
-рас-
пределение с
1
−
=
lk
степенями свободы, т.е.
∑
=
−
=
=
l
i
k
i
ii
np
npm
K
1
2
2
)(
χ
. (5.62)
Далее задаемся уровнем значимости
α
и, зная распределение кри-
терия K, строим правостороннюю критическую область. Это будет
область вида
),(
,
+
∞
α
пр
x . Критическая точка
α
,пр
x находится из
условия
αχ
α
=> )(
,
2
прk
xP . В табл. П3 приведены значения
2
γ
χ
,
удовлетворяющие условию
γχχ
γ
=< )(
22
k
P . Следовательно,
)1,1(
2
,
−−= lx
пр
αχ
α
. (5.63)
Если числовое значение критерия
наб
K , вычисляемое по формуле
(5.61), попадает в критическую область
),(
,
∞
α
пр
x , то делается вы-
вод о неправомерности гипотезы Н
0
(5.60). Следует помнить, что
этот вывод может быть ошибочным (т.е. генеральная совокупность
имеет плотность распределения
)(xp с вероятностью
α
(ошибка
первого рода)).
Отметим одну рекомендацию для выбора длины интервала
h .
Чтобы случайная величина
∑
=
−
l
i
i
ii
np
npm
1
2
)(
была приемлемо близка
к распределению
2
1
−l
χ
, достаточным для практических расчетов
является выполнение условия
10≥
i
np для всех i. В том случае,
когда для некоторого i имеет место
10
<
i
np , рекомендуется объ-
единить несколько интервалов, пока данное условие не будет вы-
полнено.
♦ Пример 5.11. По выборке объема 144
=
n составлен груп-
пированный статистический ряд:
130
X
0–1 1–2 2–3 3–4 4–5 5–6 6–7 7–8
i
m 16 17 19 16 24 19 17 16
Проверить на уровне значимости
05.0
=
α
гипотезу о равно-
мерности распределения генеральной совокупности на отрезке
[0,8].
Решение. Нулевая гипотеза имеет вид
0
1
,0 8;
80
:() ()
0, для остальных .
X
x
Hpx px
x
⎧
≤≤
⎪
−
==
⎨
⎪
⎩
(5.64)
Вычислим вероятность попадания случайной величины
X
в каж-
дый интервал:
∫
=
==+−==
i
i
i
iiidxp
1
8,...,2,1,
8
1
)1(
8
1
8
1
.
Поэтому
1
144 18
8
i
np
=
=
при любом
i . Так как 10≥
i
np , то нет
необходимости объединять несколько интервалов. Результаты
дальнейших вычислений сведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Номер
интервала
i
m
i
np
ii
mnp
−
2
()
ii
i
mnp
np
−
1 16 18 –2 0.22
2 17 18 –1 0.06
3 19 18 1 0.06
4 16 18 –2 0.22
5 24 18 6 2.00
6 19 18 1 0.06
7 17 18 –1 0.06
8 16 18 –2 0.22
∑
144 144 0 2.9
l ( mi − npi ) 2 X 0–1 1–2 2–3 3–4 4–5 5–6 6–7 7–8
K= ∑ . (5.61)
i =1 npi mi 16 17 19 16 24 19 17 16
Если гипотеза Н0 (5.60) справедлива, то критерий K имеет χ -рас- 2
пределение с k = l − 1 степенями свободы, т.е. Проверить на уровне значимости α = 0.05 гипотезу о равно-
l ( mi − npi ) 2 мерности распределения генеральной совокупности на отрезке
K= ∑ = χ k2 . (5.62) [0,8].
i =1 npi Решение. Нулевая гипотеза имеет вид
Далее задаемся уровнем значимости α и, зная распределение кри-
⎧ 1 , 0 ≤ x ≤ 8;
терия K, строим правостороннюю критическую область. Это будет ⎪
H 0 : p X ( x) = p( x) = ⎨ 8 − 0 (5.64)
область вида ( xпр ,α ,+∞ ) . Критическая точка xпр ,α находится из ⎪⎩0, для остальных x.
условия P ( χ k2 > xпр ,α ) = α . В табл. П3 приведены значения χ γ2 ,
Вычислим вероятность попадания случайной величины X в каж-
дый интервал:
удовлетворяющие условию P ( χ k2 < χ γ2 ) = γ . Следовательно,
i
1 1 1
x пр ,α = χ 2 (1 − α , l − 1) . (5.63) pi = ∫ 8 dx = 8 (i − i + 1) = 8 , i = 1,2,...,8 .
i =1
Если числовое значение критерия K наб , вычисляемое по формуле
(5.61), попадает в критическую область ( x пр ,α , ∞) , то делается вы- Поэтому npi = 1 144 = 18 при любом i . Так как np i ≥ 10 , то нет
8
вод о неправомерности гипотезы Н0 (5.60). Следует помнить, что необходимости объединять несколько интервалов. Результаты
этот вывод может быть ошибочным (т.е. генеральная совокупность дальнейших вычислений сведены в табл. 5.1.
имеет плотность распределения p (x) с вероятностью α (ошибка
Таблица 5.1
первого рода)). (mi − npi ) 2
Номер mi npi mi − npi
Отметим одну рекомендацию для выбора длины интервала h .
интервала npi
l (mi − npi ) 2
Чтобы случайная величина ∑ была приемлемо близка 1 16 18 –2 0.22
i =1 npi 2 17 18 –1 0.06
к распределению χ l2−1 , достаточным для практических расчетов 3 19 18 1 0.06
4 16 18 –2 0.22
является выполнение условия npi ≥ 10 для всех i. В том случае, 5 24 18 6 2.00
когда для некоторого i имеет место np i < 10 , рекомендуется объ- 6 19 18 1 0.06
единить несколько интервалов, пока данное условие не будет вы- 7 17 18 –1 0.06
полнено. 8 16 18 –2 0.22
∑ 144 144 0 2.9
♦ Пример 5.11. По выборке объема n = 144 составлен груп-
пированный статистический ряд:
129 130
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
