Составители:
Рубрика:
121
значение критерия Фишера: 2
4.0
8.0
==
наб
K . Граница правосто-
ронней критической области
41.2)17,11(
,
=
=
γα
fx
пр
. Так как
α
,прнаб
xK <
, то нет оснований отвергать гипотезу о равенстве
дисперсий
)( XD и )(YD . Считая их равными, применим крите-
рий (5.46) и вычислим
mn
mnmn
mdnd
yx
K
вyвx
вв
+
−+
⋅
+
−
=
)2(
.
Так как
в
n
n
DS
1
2
−
=
, то
22
(1), ( 1)
вx ХвyY
nd n s md m s=− = − . После вы-
числений получим
594.3
=
наб
K . Критическая область для крите-
рия является двусторонней. По табл. П2 находим
,/2 ,/2
(1 ,29) 2.048; (1 ,29) 2.048
пр лев
xt x t
αα
α
α
=− = =−− =− .
Так как
048.2>
наб
K , то гипотеза о равенстве математических
ожиданий
М(Х) и M(Y) отвергается на уровне значимости 0.05. ☻
5.8. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
двух нормальных распределений
В п. 5.7 при проверке гипотезы о равенстве математических
ожиданий предполагалось, что дисперсии этих совокупностей оди-
наковы. Как убедиться в этом, имея лишь значения выборочных
дисперсий? Задача проверки гипотезы о равенстве дисперсий име-
ет и самостоятельный интерес. Так как дисперсия, например, ха-
рактеризует точность работы прибора или технологического про-
цесса, то, убедившись
в равенстве дисперсий, можно говорить об
одинаковой точности прибора или технологического процесса.
Пусть
Х и Y – две случайные величины, имеющие нормальные
распределения и неизвестные дисперсии
2
Х
σ
и
2
Y
σ
. Требуется про-
верить гипотезу
22
0
:
Х
Y
H
σ
σ
= . (5.52)
122
Построим критерий для проверки этой гипотезы. Для этого
рассмотрим исправленные дисперсии:
2
2
1
22
1
()
()
,.
11
m
n
j в
i в
j
i
Х Y
YY
XX
SS
nm
=
=
−
−
==
−−
∑
∑
Как известно (см. п. 3.3), эти величины могут быть приняты за
приближенные значения
2
Х
σ
и
2
Y
σ
. Имеют место следующие рас-
пределения (см. теорему 4.1):
2
2
1
2
(1)
Х
n
Х
nS
χ
σ
−
−
= ;
2
2
1
2
(1)
Y
m
Y
mS
χ
σ
−
−
= .
Поэтому в соответствии с определением F-распределения (см.
п. 4.1) отношение
2
2
l
k
l
k
χ
χ
или отношение
22
22
(1) ( 1)
(1) ( 1)
Х
Y
Х Y
nS mS
nm
σσ
−−
−
−
бу-
дет иметь распределение Фишера с
1
−
=
nl и 1
−
=
mk степеня-
ми свободы, т.е.
22
1, 1
22
XY
nm
XY
SS
F
σσ
−
−
= . (5.53)
Если гипотеза (5.52) верна, то из (5.53) непосредственно получаем
критерий
22
22
max( , )
,
min( , )
XY
XY
SS
K
SS
= (5.54)
который подчиняется распределению Фишера с
l и k степенями
свободы, т.е.
kl
FK
,
=
. (5.55)
Предположим, что выборка с большей исправленной дисперсией
имеет объем
1
n , с меньшей –
1
m . В этом случае
1;1
11
−
=
−
=
mknl .
Зададим уровень значимости
α
и перейдем к построению крити-
ческих областей и проверке гипотезы (5.52) для двух следующих
видов альтернативной гипотезы.
1. Альтернативная гипотеза имеет вид
0.8 Построим критерий для проверки этой гипотезы. Для этого
значение критерия Фишера: K наб = = 2 . Граница правосто- рассмотрим исправленные дисперсии:
0.4
n m
ронней критической области xпр ,α = f γ (11,17) = 2.41 . Так как ∑ (Y
∑ ( X i − X в )2 j − Yв ) 2
K наб < xпр,α , то нет оснований отвергать гипотезу о равенстве S Х2 = i =1
, SY2 =
j =1
.
n −1 m −1
дисперсий D( X ) и D(Y ) . Считая их равными, применим крите- Как известно (см. п. 3.3), эти величины могут быть приняты за
рий (5.46) и вычислим приближенные значения σ Х2 и σ Y2 . Имеют место следующие рас-
xв − y в mn(n + m − 2) пределения (см. теорему 4.1):
K= ⋅ . (n − 1) S Х2 (m − 1) SY2
nd вx + md вy n+m = χ 2
n −1 ; = χ m2 −1 .
2
σХ 2
σY
Поэтому в соответствии с определением F-распределения (см.
Так как S 2 = n n−1 Dв , то nd вx = (n − 1) s Х2 , md вy = (m − 1) sY2 . После вы-
χ2 l (n − 1) S Х2 (m − 1) SY2
числений получим K наб = 3.594 . Критическая область для крите- п. 4.1) отношение 2l или отношение 2 бу-
χk k σ Х (n − 1) σ Y2 (m − 1)
рия является двусторонней. По табл. П2 находим дет иметь распределение Фишера с l = n − 1 и k = m − 1 степеня-
xпр ,α / 2 = t (1 − α ,29) = 2.048; x лев ,α / 2 = −t (1 − α ,29) = −2.048 . ми свободы, т.е.
S X2 SY2
Так как K наб > 2.048 , то гипотеза о равенстве математических = Fn −1,m −1 . (5.53)
2 2
σX σY
ожиданий М(Х) и M(Y) отвергается на уровне значимости 0.05. ☻
Если гипотеза (5.52) верна, то из (5.53) непосредственно получаем
5.8. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий критерий
двух нормальных распределений max( S X2 , SY2 )
K= , (5.54)
В п. 5.7 при проверке гипотезы о равенстве математических min( S X2 , SY2 )
ожиданий предполагалось, что дисперсии этих совокупностей оди- который подчиняется распределению Фишера с l и k степенями
наковы. Как убедиться в этом, имея лишь значения выборочных свободы, т.е.
дисперсий? Задача проверки гипотезы о равенстве дисперсий име-
ет и самостоятельный интерес. Так как дисперсия, например, ха- K = Fl , k . (5.55)
рактеризует точность работы прибора или технологического про-
цесса, то, убедившись в равенстве дисперсий, можно говорить об Предположим, что выборка с большей исправленной дисперсией
одинаковой точности прибора или технологического процесса. имеет объем n 1 , с меньшей – m1 . В этом случае
Пусть Х и Y – две случайные величины, имеющие нормальные
l = n1 − 1; k = m1 − 1 .
распределения и неизвестные дисперсии σ Х2 и σ Y2 . Требуется про-
Зададим уровень значимости α и перейдем к построению крити-
верить гипотезу
ческих областей и проверке гипотезы (5.52) для двух следующих
H 0 : σ Х2 = σ Y2 . (5.52) видов альтернативной гипотезы.
1. Альтернативная гипотеза имеет вид
121 122
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
