Составители:
Рубрика:
117
При уровне значимости 05.0=
α
проверить гипотезу
0
:() ()
H
MX MY= при конкурирующей
1
:() ()
H
MX MY
≠
.
Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия
K
:
30 28.3
8.5
1.2 4.5
120 150
вв
наб
вy
вx
XY
K
d
d
nm
−
−
== =
+
+
.
Правую границу
x
пр,
α
/ 2
двусторонней критической области
(
x
пр,
α
/ 2
,+∞) найдем из условия
,/2
()(1)/20.475
пр
x
α
Φα
=
−=. Полу-
чаем
,/2
1.96
пр
x
α
= ,
,/2
1.96
лев
x
α
=− . Так как
,/2наб пр
Kx
α
> , гипотеза о
равенстве генеральных средних на уровне значимости 0.05
α
=
от-
вергается.
☻
5.7. Проверка гипотезы о равенстве
математических ожиданий двух нормальных
распределений с неизвестными,
но равными дисперсиями
Сформулируем задачу. Пусть
n
xx ,...,
1
и
m
yy ,...,
1
– две неза-
висимые выборки из нормально распределенных генеральных со-
вокупностей
Х и Y соответственно. Ранее мы рассмотрели случай
выборок большого объема и научились проверять гипотезу
)()(:
0
YMXMH = . Такую же гипотезу мы можем проверить и в
том случае, если выборки имеют малый объем, но
)( XD и
)(YD
известны. Поэтому рассмотрим случай, когда выборки име-
ют малый объем и их дисперсии
)( XD и )(YD неизвестны, но
равны.
Таким образом, при следующих предположениях:
а) случайные величины
Х и Y имеют нормальное распределение и
независимы; б)
2
() ()DX DY
σ
==, требуется проверить гипотезу о
равенстве математических ожиданий случайных величин
Х и Y, т.е.
)()(:
0
YMXMH = . (5.43)
Построим критерий для проверки этой гипотезы. Для этого
118
рассмотрим случайные величины
2
σ
вx
nD
и
2
σ
вy
mD
. По теореме о рас-
пределении выборочных характеристик они имеют распределения
2
1
−n
χ
и
2
1
−m
χ
соответственно. Так как рассматриваются независи-
мые выборки, то случайные величины
2
σ
вx
nD
и
2
σ
вy
mD
независимы.
Поэтому их сумма имеет распределение
2
2
−+mn
χ
, т.е.
2
2
22
вy
вx
nm
mD
nD
χ
σσ
+
−
+= . (5.44)
В силу независимости величин
Х и Y имеем
mn
вв
YXD
22
)(
σσ
+=− . Если гипотеза Н
0
справедлива, то случай-
ная величина
)(
11
вв
mn
вв
YX
mn
nm
YX
U −
+
=
+
−
=
σ
σ
(5.45)
имеет нормальное распределение
)1,0(N (убедитесь в этом), т.е.
)1,0(NU = .
Напомним, что случайная величина
2
2
2
2
−+
−+
−+
=
mn
mn
mnU
T
χ
подчиняется распределению Стьюдента с
2
−
+
mn степенями
свободы (см. п. 4.1). Подставив вместо
U правую часть выражения
(5.45), а вместо
2
2
−+mn
χ
левую часть (5.44), получим
(2)
.
вв
вx вy
XY
nm n m
K
nm
nD mD
−
+−
=×
+
+
(5.46)
Эта случайная величина не содержит неизвестного параметра
σ
и
может быть взята в качестве критерия для проверки гипотезы
Н
0
При уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу рассмотрим случайные величины
nDвx
и
mDвy
. По теореме о рас-
H 0 : M ( X ) = M (Y ) при конкурирующей H1 : M ( X ) ≠ M (Y ) . σ 2
σ2
Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия K : пределении выборочных характеристик они имеют распределения
X в − Yв 30 − 28.3
χ n2−1 и χ m2 −1 соответственно. Так как рассматриваются независи-
K наб = = = 8.5 . nDвx mDвy
d вx d вy 1.2 + 4.5 мые выборки, то случайные величины и независимы.
+ 120 150 σ 2
σ2
n m
Поэтому их сумма имеет распределение χ n2+ m − 2 , т.е.
Правую границу xпр,α / 2 двусторонней критической области
(xпр,α / 2,+∞) найдем из условия Φ ( xпр ,α / 2 ) = (1 − α ) / 2 = 0.475 . Полу- nDвx mDвy
+ = χ n2+ m − 2 . (5.44)
чаем xпр ,α / 2 = 1.96 , xлев ,α / 2 = −1.96 . Так как K наб > xпр ,α / 2 , гипотеза о σ 2
σ 2
равенстве генеральных средних на уровне значимости α = 0.05 от- В силу независимости величин Х и Y имеем
вергается. ☻ D( X в − Yв ) = σ2 + σ 2 . Если гипотеза Н справедлива, то случай-
n m 0
5.7. Проверка гипотезы о равенстве ная величина
математических ожиданий двух нормальных
распределений с неизвестными, X в − Yв nm
U= = ( X в − Yв ) (5.45)
но равными дисперсиями σ 1
+ 1 σ n+m
n m
Сформулируем задачу. Пусть x1 ,..., xn и y1 ,..., y m – две неза-
висимые выборки из нормально распределенных генеральных со- имеет нормальное распределение N (0,1) (убедитесь в этом), т.е.
вокупностей Х и Y соответственно. Ранее мы рассмотрели случай U = N (0,1) .
выборок большого объема и научились проверять гипотезу Напомним, что случайная величина
H 0 : M ( X ) = M (Y ) . Такую же гипотезу мы можем проверить и в
U n+m−2
том случае, если выборки имеют малый объем, но D( X ) и Tn + m − 2 =
D(Y ) известны. Поэтому рассмотрим случай, когда выборки име- χ n2+ m − 2
ют малый объем и их дисперсии D( X ) и D(Y ) неизвестны, но
подчиняется распределению Стьюдента с n + m − 2 степенями
равны. свободы (см. п. 4.1). Подставив вместо U правую часть выражения
Таким образом, при следующих предположениях:
а) случайные величины Х и Y имеют нормальное распределение и (5.45), а вместо χ n2+ m − 2 левую часть (5.44), получим
независимы; б) D( X ) = D (Y ) = σ 2 , требуется проверить гипотезу о
X в − Yв nm ( n + m − 2)
равенстве математических ожиданий случайных величин Х и Y, т.е. K= × . (5.46)
nDвx + mDвy n+m
H 0 : M ( X ) = M (Y ) . (5.43)
Эта случайная величина не содержит неизвестного параметра σ и
Построим критерий для проверки этой гипотезы. Для этого может быть взята в качестве критерия для проверки гипотезы Н0
117 118
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
