Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 53 стр.

                                                                                                      P ( χ k2 < χ 2 (γ , k ) ) = γ = 1 − α .
                                                       n
σ2 неизвестно. Выборочная оценка S 2 = ∑ ( X i − X в ) 2 /(n − 1) дает
                                                      i =1

приближенное представление о σ2. Используя эту оценку, прове-            Следовательно, искомая критическая точка xпр ,α находится как
рим гипотезу
                                                                                                     xпр,α = χ 2 (1 − α , n − 1) .
                     H 0 : σ 2 = σ 02 ,                         (5.25)
                                                                         Подставив в (5.26) конкретные значения S 2 , σ 02 , находим K наб .
где σ 02– заранее заданное число. В качестве критерия возьмем
                                                                         Если K наб > xпр ,α , то гипотеза H0 (5.25) отвергается и принимает-
случайную величину
                                                                         ся гипотеза H1 (5.28).
                                          2
                            ( n − 1) S                                        Случай 2
                     K=                       .                 (5.26)
                                σ 02                                          В качестве альтернативной гипотезы примем

При выполнении гипотезы (5.25) эта величина подчиняется χ2-рас-                                               H1 : σ 2 ≠ σ 02 .                              (5.29)
пределению с числом степеней свободы k = n − 1 , т.е.
                                                                         В этом случае критическая область состоит из двух интервалов
                            ( n − 1) S 2                                 (0, x лев ,α / 2 ) и ( xпр ,α / 2 ,+∞ ) , где критические точки x лев ,α / 2 ,
                     K=                       = χ n2−1 .        (5.27)
                                σ 02                                     xпр,α / 2 определяются из условий (5.8), которые с учетом (5.27)
Зададимся уровнем значимости α и перейдем к построению кри-              можно записать в виде
тических областей для проверки гипотезы H0 (5.25) при следую-
                                                                                     P( χ n2−1 < x лев ,α / 2 ) = α / 2 ; P ( χ n2−1 > x пр ,α / 2 ) = α / 2 .
щих двух альтернативных гипотезах H1.
    Случай 1                                                             Обращаясь к табл. П3, находим
    В качестве альтернативной гипотезы примем
                                                                                 x лев ,α / 2 = χ 2 (α / 2, n − 1) ; xпр ,α / 2 = χ 2 (1 − α / 2, n − 1) .
                                H1 : σ 2 > σ 02 .               (5.28)   Если значение K наб , вычисленное по формуле (5.26), попадает в
Критическая область является правосторонней и определяется ин-           один из интервалов (0, x лев ,α / 2 ) или ( x пр ,α / 2 , ∞) , то гипотеза H0
тервалом ( x пр ,α ,+∞) , где критическая точка xпр ,α находится из      отвергается и принимается гипотеза H1 (5.29). В противном случае
условия (5.6), которое с учетом (5.27) можно записать в виде             нет оснований отвергнуть гипотезу H0 (5.25).

                            P ( χ n2−1 > xпр,α ) = α .                       ♦ Пример 5.3. Точность работы станка-автомата проверяется
                                                                         по дисперсии контролируемого размера изделия. По выборке из 25
В табл. П3 приведены квантили χ 2 (γ , k ) , определяемые соотно-        деталей вычислена s 2 = 0.25 . При уровне значимости α = 0.05
шением                                                                   проверить гипотезу H 0 : σ 2 = 0.15 .


                                       107                                                                         108