Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

128 Арифметические линейные пространства Гл. 2
Доказательство. Согласно теореме 5.1, любая матрица A с помо-
щью элементарных преобразований над строками и над столбцами
может быть приведена к скелетному виду. Из первой теоремы о
ранге матрицы (см. теорему 12.1) следует, что количество единиц
на диагонали в скелетном виде
ˆ
A матрицы A совпадает с рангом
матрицы A.
В соответствии с предложением 14.2, каждое элементарное пре-
образование над строками (над столбцами) можно представить как
умножение слева (справа) на элементарную матрицу соответствую-
щего типа. Так мы получим формулу
P
k
· . . . · P
2
· P
1
· A · Q
1
· Q
2
· . . . · Q
l
=
ˆ
A, (14.8)
где P
1
, ..., P
k
— элементарные матрицы размера m × m, а Q
1
, ..., Q
l
— элементарные матрицы размера n × n.
По предложению 14.3, все эти элементарные матрицы обратимы,
а значит, по предложению 14.1, произведения P = P
k
· . . . · P
2
· P
1
и
Q = Q
1
· Q
2
· . . . · Q
l
также обратимы, и из формулы
P · A · Q =
ˆ
A, (14.9)
домножая ее слева на матрицу S = P
−1
и справа на матрицу
T = Q
−1
, мы получим формулу (14.7). ¤
14.5. Невырожденные матрицы. Первая теорема об усло-
виях обратимости матрицы. В этом пункте мы выведем необхо-
димое и достаточное условие обратимости квадратной матрицы. По-
скольку в заголовке говорится о первой теореме об условиях обра-
тимости, то, как вы, наверное, догадываетесь, будет еще и вторая
теорема об условиях обратимости. Действительно, после изучения
теории определителей будет доказано (см. § 28) еще одно условие
обратимости. Условие же, которым мы займемся сейчас, будет опи-
раться на понятие ранга матрицы (см. § 12).
Определение 14.4. Квадратная матрица A размера n × n на-
зывается невырожденной, если она имеет максимально возможный
ранг, т. е. rank(A) = n. В противном случае матрица называется
вырожденной.
Замечание 14.5. Из определения ранга матрицы и из первой тео-
ремы о ранге (см. теорему 12.1) немедленно следует, что матрица
является невырожденной в том и только том случае, если ее столб-
цы (строки) линейно независимы.
128        Арифметические линейные пространства                       Гл. 2

  Доказательство. Согласно теореме 5.1, любая матрица A с помо-
щью элементарных преобразований над строками и над столбцами
может быть приведена к скелетному виду. Из первой теоремы о
ранге матрицы (см. теорему 12.1) следует, что количество единиц
на диагонали в скелетном виде Â матрицы A совпадает с рангом
матрицы A.
  В соответствии с предложением 14.2, каждое элементарное пре-
образование над строками (над столбцами) можно представить как
умножение слева (справа) на элементарную матрицу соответствую-
щего типа. Так мы получим формулу
              Pk · . . . · P2 · P1 · A · Q1 · Q2 · . . . · Ql = Â,   (14.8)
где P1 , ..., Pk — элементарные матрицы размера m × m, а Q1 , ..., Ql
— элементарные матрицы размера n × n.
   По предложению 14.3, все эти элементарные матрицы обратимы,
а значит, по предложению 14.1, произведения P = Pk · . . . · P2 · P1 и
Q = Q1 · Q2 · . . . · Ql также обратимы, и из формулы
                               P · A · Q = Â,                        (14.9)
домножая ее слева на матрицу S = P −1 и справа на матрицу
T = Q−1 , мы получим формулу (14.7). ¤

   14.5. Невырожденные матрицы. Первая теорема об усло-
виях обратимости матрицы. В этом пункте мы выведем необхо-
димое и достаточное условие обратимости квадратной матрицы. По-
скольку в заголовке говорится о первой теореме об условиях обра-
тимости, то, как вы, наверное, догадываетесь, будет еще и вторая
теорема об условиях обратимости. Действительно, после изучения
теории определителей будет доказано (см. § 28) еще одно условие
обратимости. Условие же, которым мы займемся сейчас, будет опи-
раться на понятие ранга матрицы (см. § 12).
  Определение 14.4. Квадратная матрица A размера n × n на-
зывается невырожденной, если она имеет максимально возможный
ранг, т. е. rank(A) = n. В противном случае матрица называется
вырожденной.
  Замечание 14.5. Из определения ранга матрицы и из первой тео-
ремы о ранге (см. теорему 12.1) немедленно следует, что матрица
является невырожденной в том и только том случае, если ее столб-
цы (строки) линейно независимы.

Страницы