Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

126 Арифметические линейные пространства Гл. 2
происходят следующие преобразования над элементами этого стол-
бца: матрица T
i,j
переставляет i-ю и j-ю компоненты столбца; мат-
рица S
i,j,λ
оставляет все компоненты столбца неизменными, кроме
i-й, к которой прибавляется j-я компонента, домноженная на число
λ; матрица M
i,λ
оставляет все компоненты вектора неизменными,
кроме i-й, которая умножается на (ненулевое) число λ.
А теперь возьмите произвольную строку ¯x
t
∈
∗
R
n
и умножьте ее
справа на элементарные матрицы. Вы увидите, что при умножении
на матрицу типа I снова произойдет перестановка двух компонент
(строки), при умножении на матрицу типа II к j-й компоненте строки
добавится i-я компонента, домноженная на λ (именно так, в отличие
от случая столбцов), умножение на матрицу типа III даст результат,
аналогичный результату для столбцов.
Итак, мы приходим к выводу, что элементарные матрицы типов
I — III связаны с элементарными преобразованиями соответствую-
щих типов. Точнее, справедливо следующее предложение, относя-
щееся к произвольным (прямоугольным) матрицам.
Предложение 14.2. Пусть A ∈ Mat(m, n, R).
1. Умножение матрицы A слева на элементарную (m×m)-матрицу
T
i,j
равносильно выполнению над строками A элементарного преоб-
разования типа I: i
стр
↔ j
стр
. Умножение A справа на аналогичную
матрицу T
i,j
(но уже размера n × n) равносильно преобразованию
i
стб
↔ j
стб
над столбцами A.
2. Умножение матрицы A слева на элементарную (m × m)-мат-
рицу S
i,j,λ
(справа на аналогичную (n × n)-матрицу) равносильно
выполнению над строками (над столбцами) A элементарного преоб-
разования типа II: i
стр
+ j
стр
· λ (соответственно j
стб
+ i
стб
· λ).
3. Умножение матрицы A слева на элементарную (m×m)-матрицу
M
i,λ
(справа на аналогичную (n×n)-матрицу) равносильно выполне-
нию над строками (над столбцами) A элементарного преобразования
типа III: i
стр
· λ (соответственно i
стб
· λ).
Доказательство немедленно следует из сделанных выше наблю-
дений и того факта, что при умножении матрицы A слева на какую-
либо матрицу B (подходящих размеров) каждый столбец матрицы A
по отдельности умножается слева на B (соответственно при умноже-
нии A справа на матрицу C, подходящих размеров, каждая строка
A по отдельности умножается на C). ¤
126        Арифметические линейные пространства                 Гл. 2

происходят следующие преобразования над элементами этого стол-
бца: матрица Ti,j переставляет i-ю и j-ю компоненты столбца; мат-
рица Si,j,λ оставляет все компоненты столбца неизменными, кроме
i-й, к которой прибавляется j-я компонента, домноженная на число
λ; матрица Mi,λ оставляет все компоненты вектора неизменными,
кроме i-й, которая умножается на (ненулевое) число λ.
                                                   ∗
   А теперь возьмите произвольную строку x̄ ∈ Rn и умножьте ее
                                               t

справа на элементарные матрицы. Вы увидите, что при умножении
на матрицу типа I снова произойдет перестановка двух компонент
(строки), при умножении на матрицу типа II к j-й компоненте строки
добавится i-я компонента, домноженная на λ (именно так, в отличие
от случая столбцов), умножение на матрицу типа III даст результат,
аналогичный результату для столбцов.
   Итак, мы приходим к выводу, что элементарные матрицы типов
I — III связаны с элементарными преобразованиями соответствую-
щих типов. Точнее, справедливо следующее предложение, относя-
щееся к произвольным (прямоугольным) матрицам.
   Предложение 14.2. Пусть A ∈ Mat(m, n, R).
   1. Умножение матрицы A слева на элементарную (m×m)-матрицу
Ti,j равносильно выполнению над строками A элементарного преоб-
разования типа I: iстр ↔ j стр . Умножение A справа на аналогичную
матрицу Ti,j (но уже размера n × n) равносильно преобразованию
iстб ↔ j стб над столбцами A.
   2. Умножение матрицы A слева на элементарную (m × m)-мат-
рицу Si,j,λ (справа на аналогичную (n × n)-матрицу) равносильно
выполнению над строками (над столбцами) A элементарного преоб-
разования типа II: iстр + j стр · λ (соответственно j стб + iстб · λ).
   3. Умножение матрицы A слева на элементарную (m×m)-матрицу
Mi,λ (справа на аналогичную (n×n)-матрицу) равносильно выполне-
нию над строками (над столбцами) A элементарного преобразования
типа III: iстр · λ (соответственно iстб · λ).
   Доказательство немедленно следует из сделанных выше наблю-
дений и того факта, что при умножении матрицы A слева на какую-
либо матрицу B (подходящих размеров) каждый столбец матрицы A
по отдельности умножается слева на B (соответственно при умноже-
нии A справа на матрицу C, подходящих размеров, каждая строка
A по отдельности умножается на C). ¤

Страницы