Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 14 Обратимые квадратные матрицы 125
при любых значениях i 6= j, а для матриц типа II в случае i > j
число λ располагается ниже главной диагонали. Можно заметить,
что для любых i 6= j справедливо равенство
S
i,j,λ
= (S
j,i,λ
)
t
.
Возьмем теперь произвольный вектор ¯x ∈ R
n
и умножим его слева
на элементарные матрицы трех описанных выше типов. Всякий,
однажды научившийся умножению матриц, уже не потеряет этот
навык, и для него будут совершенно очевидными результаты:
T
i,j
· ¯x =
i j
1
.
.
.
0 . . . 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 . . . 0
.
.
.
1
·
x
1
. . .
x
i
. . .
x
j
. . .
x
n
=
x
1
. . .
x
j
. . .
x
i
. . .
x
n
;
S
i,j,λ
· ¯x =
i j
1
.
.
.
1 . . . λ
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
1
·
x
1
. . .
x
i
. . .
x
j
. . .
x
n
=
x
1
. . .
x
i
+ λx
j
. . .
x
j
. . .
x
n
;
M
i,λ
· ¯x =
i
1
.
.
.
λ
.
.
.
1
·
x
1
. . .
x
i
. . .
x
n
=
x
1
. . .
λx
i
. . .
x
n
.
Замечаем, что элементарные матрицы не случайно получили свое
имя. При умножении на них (слева) произвольного вектора-столбца
§ 14                  Обратимые квадратные матрицы                                                                125

при любых значениях i 6= j, а для матриц типа II в случае i > j
число λ располагается ниже главной диагонали. Можно заметить,
что для любых i 6= j справедливо равенство

                                                 Si,j,λ = (Sj,i,λ )t .


  Возьмем теперь произвольный вектор x̄ ∈ Rn и умножим его слева
на элементарные матрицы трех описанных выше типов. Всякий,
однажды научившийся умножению матриц, уже не потеряет этот
навык, и для него будут совершенно очевидными результаты:
                                                                                        
                                        i                    j
                 1                                                                        x1      
                                                                                                          x1
                                                                                                                
                                                                                        
                          ..                                                             ...       ...      
                               .                                                                            
                                                                                          xi        xj      
                                       0        ...         1                                               
   Ti,j   · x̄ = 
                                       ..       ..          ..                           · ...
                                                                                                    = ...    ;
                                        .          .         .                            xj                
                                                                                                    xi      
                                       1        ...         0                                                
                                                                                            ...         ...
                                                                          ..            
                                                                                .             xn          xn
                                                                                     1
                                                                                    
                                    i                   j
              1                                                                       x1             
                                                                                                        x1
                                                                                                              
                                                                                    
                     ..                                                              ...        ...      
                          .                                                                              
                                                                                      xi        xi + λxj 
                                   1        ...        λ                                                 
Si,j,λ · x̄ = 
                                            ..         ..                           ·...
                                                                                                =  ...    ;
                                               .        .                             xj                 
                                                                                                   xj    
                                                       1                                                  
                                                                                       ...            ...
                                                                     ..             
                                                                           .             xn             xn
                                                                                 1
                                                                               
                                                    i                                               
                      1                                                             x1           x1
                                                                               
                                       ..                                       ...         ... 
                                            .                                                     
          Mi,λ · x̄ =                                                           ·  xi      =  λxi  .
                                                   λ                                              
                                                            ..                      ...          ...
                                                                 .             
                                                                                      xn           xn
                                                                           1
  Замечаем, что элементарные матрицы не случайно получили свое
имя. При умножении на них (слева) произвольного вектора-столбца

Страницы