Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 14 Обратимые квадратные матрицы 127
14.4. Обратимость элементарных матриц. Выражение с
помощью элементарных матриц приводимости прямоуголь-
ной матрицы к скелетному виду
Предложение 14.3. Все элементарные матрицы (типов I — III)
обратимы и матрица, обратная к элементарной, сама является эле-
ментарной того же типа, что и исходная:
(T
i,j
)
−1
= T
i,j
; (S
i,j,λ
)
−1
= S
i,j,−λ
; (M
i,λ
)
−1
= M
i,
1
λ
. (14.6)
Доказательство. 1. "Самообратность" матрицы T
i,j
, т. е. равенс-
тво T
i,j
· T
i,j
= E, доказывается следующим образом: умножение ма-
трицы (14.3) слева на себя самое равносильно (в силу предложения
14.2) перестановке в этой матрице i-й и j-й строк, после чего она,
очевидно, превратится в единичную матрицу.
2. Второе из равенств (14.6) равносильно двум равенствам:
S
i,j,λ
· S
i,j,−λ
= E = S
i,j,−λ
· S
i,j,λ
.
Докажем первое из этих равенств. Взгляните на формулу (14.4).
Изображенная там матрица умножается справа на такого же типа
матрицу, в которой число λ заменено на число −λ. Согласно предло-
жению 14.2, это равносильно прибавлению к j-му столбцу матрицы
(14.4) i-го столбца этой матрицы, домноженного на −λ. Ясно, что
после этого получится матрица E.
Точно так же доказывается второе равенство.
3. Совершенно аналогичное доказательство третьей из формул
(14.6) мы оставляем читателям. ¤
Применим теперь предложения 14.2 и 14.3 к процессу приведения
некоторой (прямоугольной) матрицы A к скелетному виду. (Этот
процесс был описан при доказательстве теоремы 5.1.)
Предложение 14.4. Пусть A — произвольная матрица размера
m × n, r = rank(A) — ее ранг. Тогда существуют обратимые квад-
ратные матрицы S (размера m × m) и T (размера n × n), такие,
что
A = S ·
ˆ
A · T, (14.7)
где
ˆ
A — скелетная матрица с r единицами в начале главной диаго-
нали.
§ 14                Обратимые квадратные матрицы                          127

  14.4. Обратимость элементарных матриц. Выражение с
помощью элементарных матриц приводимости прямоуголь-
ной матрицы к скелетному виду
  Предложение 14.3. Все элементарные матрицы (типов I — III)
обратимы и матрица, обратная к элементарной, сама является эле-
ментарной того же типа, что и исходная:

       (Ti,j )−1 = Ti,j ; (Si,j,λ )−1 = Si,j,−λ ; (Mi,λ )−1 = Mi, λ1 .   (14.6)



   Доказательство. 1. "Самообратность" матрицы Ti,j , т. е. равенс-
тво Ti,j · Ti,j = E, доказывается следующим образом: умножение ма-
трицы (14.3) слева на себя самое равносильно (в силу предложения
14.2) перестановке в этой матрице i-й и j-й строк, после чего она,
очевидно, превратится в единичную матрицу.
   2. Второе из равенств (14.6) равносильно двум равенствам:

                     Si,j,λ · Si,j,−λ = E = Si,j,−λ · Si,j,λ .

   Докажем первое из этих равенств. Взгляните на формулу (14.4).
Изображенная там матрица умножается справа на такого же типа
матрицу, в которой число λ заменено на число −λ. Согласно предло-
жению 14.2, это равносильно прибавлению к j-му столбцу матрицы
(14.4) i-го столбца этой матрицы, домноженного на −λ. Ясно, что
после этого получится матрица E.
   Точно так же доказывается второе равенство.
   3. Совершенно аналогичное доказательство третьей из формул
(14.6) мы оставляем читателям. ¤
  Применим теперь предложения 14.2 и 14.3 к процессу приведения
некоторой (прямоугольной) матрицы A к скелетному виду. (Этот
процесс был описан при доказательстве теоремы 5.1.)
  Предложение 14.4. Пусть A — произвольная матрица размера
m × n, r = rank(A) — ее ранг. Тогда существуют обратимые квад-
ратные матрицы S (размера m × m) и T (размера n × n), такие,
что
                          A = S · Â · T,                (14.7)
где Â — скелетная матрица с r единицами в начале главной диаго-
нали.

Страницы