Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 129 стр.

§ 14            Обратимые квадратные матрицы                 129

  Теорема 14.1 (первая теорема об условиях обратимости матри-
цы). Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она
невырождена.
   Доказательство. 1. Пусть матрица A невырождена, т. е. ее ранг
(обозначим его для краткости r) максимален: r = n. Это означа-
ет, что скелетный вид матрицы A совпадает с единичной матрицей:
 = E. В соответствии с предложением 14.4, данная матрица пред-
ставляется в виде A = S · E · T = S · T, где S и T — обратимые
матрицы. Следовательно, матрица A обратима, и в одну сторону
утверждение теоремы доказано.
   Однако, если вспомнить детали доказательства теоремы 5.1, то
можно дополнительно заметить, что в случае квадратной и невы-
рожденной матрицы A для приведения этой матрицы к скелетному
виду элементарные преобразования над столбцами вообще не пона-
добятся. (В самом деле, количество ступенек в ступенчатом виде
матрицы A в этом случае совпадает с количеством столбцов, следо-
вательно, ступеньки должны идти подряд и заполнять всю главную
диагональ; зоны справа от последней ступеньки (которая обнулялась
с помощью элементарных преобразований над столбцами) не будет.
К тому же скелетный вид Â в этом случае совпадает с единичной
матрицей E.)
   Таким образом, мы получаем P ·A = E, или с учетом обратимости
матрицы P :
                  A = P −1 = S = S1 · S2 · . . . · Sk ,    (14.10)
где Si = Pi−1 (i = 1, ..., k).
   2. Пусть матрица A обратима и rank(A) = r. По формуле (14.9) с
учетом предложения 14.1 скелетный вид этой матрицы Â = P · A · Q
также есть обратимая матрица. Но диагональная (n × n)-матрица Â
может быть обратимой (см. пример 14.1), только если на диагонали
отсутствуют нулевые элементы, что возможно лишь в случае r = n.
А это означает, что данная матрица является невырожденной. ¤
   По ходу доказательства теоремы 14.1 обнаружился следующий
(важный и сам по себе) факт:
   Предложение 14.5. Всякая обратимая матрица представляется
в виде произведения элементарных матриц.
   Доказательство не требуется: см. формулу (14.10). ¤