Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 14 Обратимые квадратные матрицы 131
Пример 14.2. Решим следующую з а д а ч у: выяснить, при
каких значениях параметра λ матрица
A =
1 1 −1
0 −1 −1
λ 0 1
является обратимой. Найти (при этих значениях λ) обратную мат-
рицу A
−1
.
Р е ш е н и е. Выпишем составную матрицу (A|E) и приведем ее
к ступенчатому виду (с помощью элементарных преобразований над
строками; подчеркнем, что преобразования над столбцами в этом
алгоритме не допустимы).
(A | E) =
1 1 −1
0 −1 −1
λ 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−→
3
стр
+1
стр
·(−λ)
−−−−−−−−−−−−→
1 1 −1
0 −1 −1
0 −λ λ + 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 0
0 1 0
−λ 0 1
−→
3
стр
+2
стр
·(−λ)
−−−−−−−−−−−−→
1 1 −1
0 −1 −1
0 0 2λ + 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 0
0 1 0
−λ −λ 1
−→ ...
Замечаем, что уже обозначились две ступеньки и что в особом
случае λ = −1/2 третья ступенька придется на четвертый столбец,
а в зоне матрицы A будут только две ступеньки и поэтому rank(A)
будет равен 2, и следовательно, матрица A будет в этом случае необ-
ратимой.
В неособом случае λ 6= −1/2 три ступеньки будут приходиться
на зону матрицы A, эта матрица будет невырожденной и, значит,
обратимой.
Продолжим преобразования до достижения вида Ж.—Г.:
...
1
стр
+2
стр
−−−−−−−−−−→
2
стр
·(−1)
1 0 −2
0 1 1
0 0 2λ + 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 0
0 −1 0
−λ −λ 1
−→
§ 14                Обратимые квадратные матрицы                      131

  Пример 14.2. Решим следующую з а д а ч у: выяснить, при
каких значениях параметра λ матрица
                                     
                            1 1 −1
                      A =  0 −1 −1 
                            λ 0     1

является обратимой. Найти (при этих значениях λ) обратную мат-
рицу A−1 .
   Р е ш е н и е. Выпишем составную матрицу (A|E) и приведем ее
к ступенчатому виду (с помощью элементарных преобразований над
строками; подчеркнем, что преобразования над столбцами в этом
алгоритме не допустимы).
                                   ¯       
                           1 1 −1 ¯¯ 1 0 0
               (A | E) =  0 −1 −1 ¯¯ 0 1 0  −→
                           λ 0   1 ¯0 0 1
                                               ¯        
                         1        1      −1     ¯ 1 0 0
           3стр
              +1  стр
                 ·(−λ)                          ¯
         −−−−−−−−−−−−→  0       −1      −1     ¯ 0 1 0  −→
                                                ¯
                         0       −λ     λ+1     ¯ −λ 0 1

                                              ¯           
                          1     1      −1      ¯ 1     0 0
         3стр +2стр ·(−λ)                      ¯
       −−−−−−−−−−−−→  0        −1     −1      ¯ 0     1 0  −→ ...
                                               ¯
                          0     0     2λ + 1   ¯ −λ   −λ 1

   Замечаем, что уже обозначились две ступеньки и что в особом
случае λ = −1/2 третья ступенька придется на четвертый столбец,
а в зоне матрицы A будут только две ступеньки и поэтому rank(A)
будет равен 2, и следовательно, матрица A будет в этом случае необ-
ратимой.
   В неособом случае λ 6= −1/2 три ступеньки будут приходиться
на зону матрицы A, эта матрица будет невырожденной и, значит,
обратимой.
   Продолжим преобразования до достижения вида Ж.—Г.:
                                         ¯            
                          1   0     −2    ¯ 1    1   0
            1стр +2стр                   ¯
      ...−−−−стр
              −−−−−−→  0     1      1    ¯ 0 −1 0  −→
            2    ·(−1)                    ¯
                                          ¯
                          0   0    2λ + 1 −λ −λ 1

Страницы