Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 14 Обратимые квадратные матрицы 123
Пример 14.1. Исследуем вопрос о том, когда обратима диаго-
нальная квадратная матрица
A =
α
1
α
2
.
.
.
α
n
.
Если все числа α
i
(i = 1, ..., n), стоящие на диагонали, отличны от
нуля, то такая матрица, очевидно, обратима, причем обратной к ней
служит также диагональная матрица с элементами α
−1
i
(i = 1, ..., n)
на диагонали.
Если же в данной матрице A есть хотя бы один нуль среди диа-
гональных элементов, то в ней есть строка, целиком состоящая из
нулей. При умножении такой матрицы A на любую (n × n)-матрицу
B в произведении A·B также будет нулевая строка, а значит, это про-
изведение не может равняться единичной матрице. Следовательно,
матрица A не является обратимой.
Вывод: диагональная матрица обратима тогда и только тогда,
когда на диагонали нет нулевых элементов.
14.3. Элементарные матрицы и их связь с элементарными
преобразованиями. В этом пункте будут определены и изучены
квадратные матрицы специального вида, с помощью умножения на
которые можно будет описать рассматривавшиеся ранее (начиная с
п. 4.3) элементарные преобразования (типов I — III) над строками и
столбцами (прямоугольных) матриц.
Определение 14.3. 1. Элементарной (n × n)-матрицей типа I
называется матрица следующего вида:
T
i,j
=
i j
1
.
.
.
0 . . . 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 . . . 0
.
.
.
1
, (14.3)
§ 14             Обратимые квадратные матрицы                                     123

  Пример 14.1. Исследуем вопрос о том, когда обратима диаго-
нальная квадратная матрица
                                                              
                                α1
                                        α2                    
                      A=
                                               ..             .
                                                               
                                                     .
                                                          αn

  Если все числа αi (i = 1, ..., n), стоящие на диагонали, отличны от
нуля, то такая матрица, очевидно, обратима, причем обратной к ней
служит также диагональная матрица с элементами αi−1 (i = 1, ..., n)
на диагонали.
  Если же в данной матрице A есть хотя бы один нуль среди диа-
гональных элементов, то в ней есть строка, целиком состоящая из
нулей. При умножении такой матрицы A на любую (n × n)-матрицу
B в произведении A·B также будет нулевая строка, а значит, это про-
изведение не может равняться единичной матрице. Следовательно,
матрица A не является обратимой.
  Вывод: диагональная матрица обратима тогда и только тогда,
когда на диагонали нет нулевых элементов.


   14.3. Элементарные матрицы и их связь с элементарными
преобразованиями. В этом пункте будут определены и изучены
квадратные матрицы специального вида, с помощью умножения на
которые можно будет описать рассматривавшиеся ранее (начиная с
п. 4.3) элементарные преобразования (типов I — III) над строками и
столбцами (прямоугольных) матриц.
  Определение 14.3. 1. Элементарной (n × n)-матрицей типа I
называется матрица следующего вида:
                                                                           
                                     i                   j
                      1                                                    
                                                                           
                          ..                                               
                               .                                           
                                                                           
                                    0        ...        1                  
              Ti,j   =
                                    ..       ..         ..                 ,
                                                                                (14.3)
                                     .          .        .                 
                                                                           
                                    1        ...        0                  
                                                              ..           
                                                                   .       
                                                                        1

Страницы