Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 122 стр.

122        Арифметические линейные пространства            Гл. 2

т. е. матрицы B и B 0 совпадают. Это наблюдение мотивирует следу-
ющее
  Определение 14.2. Если существует матрица B, удовлетворя-
ющая условию (14.1), то она называется обратной матрицей для
матрицы A. Используется обозначение: B = A−1 .
  Множество всех обратимых (n × n)-матриц будем обозначать сим-
волом GL(n, R). Отметим следующие свойства обратимых матриц.
   Предложение 14.1. 1. Единичная матрица E обратима и явля-
ется самообратной: E −1 = E.
   2. Если матрица A обратима, то и обратная к ней матрица обра-
тима, причем (A−1 )−1 = A.
   3. Если матрицы A и B обратимы, то и произведение A · B есть
обратимая матрица, причем

                         (A · B)−1 = B −1 · A−1 .          (14.2)



  Доказательство. Первые два утверждения совершенно очевид-
ны. Третье тоже легко доказать. В самом деле,

                 (xii)
(A·B)·(B −1 ·A−1 ) = (A·(B ·B −1 ))·A−1 = (A·E)·A−1 = A·A−1 = E.

  Аналогично проверяется второе равенство из условия (14.1). ¤
  Замечание 14.2. Третье утверждение предложения 14.1 коварно:
неопытные вычислители, "избалованные" коммутативностью алгеб-
ры действительных чисел, забывают о перемене порядка сомножи-
телей-матриц при обращении. Не допускайте таких ошибок.
  Замечание 14.3. Если вы не пропустили замечание 14.1 в конце
предыдущего пункта, то вы с удовольствием можете сейчас конста-
тировать, что предложение 14.1 равносильно следующему лаконич-
ному утверждению: квадратные матрицы фиксированного размера
образуют группу по умножению (у этой группы есть собственное
имя: общая линейная группа).
  А если вы уже приобрели некоторый вкус к абстрактным рассуж-
дениям, то вы легко обобщите определение 14.1 обратимых матриц
на случай элементов произвольного кольца и сообразите, что обра-
тимые элементы в любом кольце образуют группу по умножению.