Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 121 стр.

§ 14             Обратимые квадратные матрицы                        121

   Можно считать и так: поле R вложено в кольцо квадратных ма-
триц L(n, R) отображением λ 7→ λE; образ этого вложения состав-
ляют матрицы, пропорциональные единичной (их принято называть
скалярными матрицами), эти матрицы коммутируют со всеми мат-
рицами.
   Замечание 14.1. Мы с вами уже познакомились с двумя важней-
шими типами алгебраических систем (т. е. множеств, наделенных
алгебраическими операциями): с полями и кольцами. В алгебре
изучаются также и более простые объекты, с одной алгебраической
операцией (типа сложения или умножения).
   Предположим, что эта операция ассоциативна и что для нее суще-
ствует так называемый нейтральный элемент (для сложения — это
нуль, для умножения — единица). Предположим, кроме того, что
для любого элемента существует противоположный (в случае сло-
жения) или обратный (в случае умножения) элемент. Тогда говорят,
что рассматриваемая алгебраическая система является группой по
сложению или по умножению.
   Например, любое кольцо (в частности, любое поле) является груп-
пой по сложению, причем эта группа коммутативна. Но кольцо (или
поле) по умножению группой не является, т. к. по крайней мере один
элемент (нулевой) не имеет обратного.
   В случае поля достаточно выбросить один этот элемент, и остав-
шиеся (ненулевые) элементы будут уже образовывать группу по ум-
ножению.
   В кольце квадратных матриц, как мы вскоре увидим, существуют
ненулевые необратимые элементы.

  14.2. Группа обратимых квадратных матриц. Рассмотрим
кольцо L(n, R) квадратных (n × n)-матриц.
  Определение 14.1. Матрица A ∈ L(n, R) называется обрати-
мой, если существует такая матрица B ∈ L(n, R), что справедливы
равенства
                       A · B = B · A = E.                  (14.1)

   Если для матрицы A существует матрица B, удовлетворяющая
(14.1), то лишь одна. В самом деле, предположим, что, кроме B,
найдется еще матрица B 0 , также удовлетворяющая этому условию
(т. е. справедливо A · B 0 = B 0 · A = E). Тогда

        B 0 = B 0 · E = B 0 · (A · B) = (B 0 · A) · B = E · B = B,