Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 14 Обратимые квадратные матрицы 119
не вошедших в базис, по этому базису. Например, разложение для
v4 имеет вид:
v4 =
20
3
v1 −
4
3
v2.
Разберем еще один способ — специальную команду для отыскания
базиса в линейной оболочке столбцов матрицы.
> cs := colspace ( A ) ;
cs := {
·
0, 1, 0,
4
5
,
9
10
¸
,
·
1, 0, 0,
−7
5
,
−6
5
¸
,
·
0, 0, 1,
6
5
,
21
10
¸
}.
Здесь искомый базис выдан как множество (’set’) и, как видите,
это уже другой базис, не из числа порождающих векторов.
В заключение добавим, что в задачах с параметром вместо коман-
ды gaussjord следует использовать команду ffgausselim, осуществля-
ющую свободное от дробей гауссово исключение.
§
§
§ 14. Обратимые квадратные матрицы
14.1. Кольцо квадратных матриц заданного размера. В § 2
мы определили алгебраические операции над матрицами, элементы
которых принадлежат полю R. Напомним, что как сложение, так и
умножение двух матриц осуществимы не всегда: для осуществимо-
сти сложения необходимо, чтобы матрицы имели одинаковые раз-
меры, а для того чтобы было возможным умножение, необходимо,
чтобы количество столбцов первой матрицы равнялось количеству
строк второй.
В этом параграфе мы рассмотрим алгебраические действия над
квадратными матрицами фиксированного размера n × n, т. е. ал-
гебраические действия в множестве Mat(n, n; R), для которого мы
введем здесь более короткое обозначение L(n, R). Ясно, что в этом
множестве и сложение, и умножение всегда осуществимы. Все зако-
ны матричной алгебры (i) — (xvii), доказанные в теореме 2.1, оказы-
ваются теперь (без всяких оговорок о размерах матриц) справедливы
в множестве L(n, R).
Остановимся сначала на двух операциях: на сложении и умноже-
нии матриц. В соответствии с законами (i) — (iv), сложение явля-
ется коммутативным и ассоциативным, имеет нуль (нулевую матри-
цу O) и для любой матрицы существует противоположная матри-
ца. Умножение согласовано со сложением двумя дистрибутивными
§ 14            Обратимые квадратные матрицы                  119

не вошедших в базис, по этому базису. Например, разложение для
v4 имеет вид:
                              20     4
                        v4 =     v1 − v2.
                               3     3
   Разберем еще один способ — специальную команду для отыскания
базиса в линейной оболочке столбцов матрицы.

   > cs := colspace ( A ) ;
              ·             ¸ ·               ¸ ·             ¸
                       4 9              −7 −6            6 21
       cs := { 0, 1, 0, ,    , 1, 0, 0,   ,    , 0, 0, 1, ,    }.
                       5 10              5 5             5 10
   Здесь искомый базис выдан как множество (’set’) и, как видите,
это уже другой базис, не из числа порождающих векторов.
   В заключение добавим, что в задачах с параметром вместо коман-
ды gaussjord следует использовать команду ffgausselim, осуществля-
ющую свободное от дробей гауссово исключение.



       § 14. Обратимые квадратные матрицы

   14.1. Кольцо квадратных матриц заданного размера. В § 2
мы определили алгебраические операции над матрицами, элементы
которых принадлежат полю R. Напомним, что как сложение, так и
умножение двух матриц осуществимы не всегда: для осуществимо-
сти сложения необходимо, чтобы матрицы имели одинаковые раз-
меры, а для того чтобы было возможным умножение, необходимо,
чтобы количество столбцов первой матрицы равнялось количеству
строк второй.
   В этом параграфе мы рассмотрим алгебраические действия над
квадратными матрицами фиксированного размера n × n, т. е. ал-
гебраические действия в множестве Mat(n, n; R), для которого мы
введем здесь более короткое обозначение L(n, R). Ясно, что в этом
множестве и сложение, и умножение всегда осуществимы. Все зако-
ны матричной алгебры (i) — (xvii), доказанные в теореме 2.1, оказы-
ваются теперь (без всяких оговорок о размерах матриц) справедливы
в множестве L(n, R).
   Остановимся сначала на двух операциях: на сложении и умноже-
нии матриц. В соответствии с законами (i) — (iv), сложение явля-
ется коммутативным и ассоциативным, имеет нуль (нулевую матри-
цу O) и для любой матрицы существует противоположная матри-
ца. Умножение согласовано со сложением двумя дистрибутивными

Страницы