Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 120 стр.

120        Арифметические линейные пространства            Гл. 2

законами — (ix) и (x), ассоциативно [закон (xii)] и имеет единицу
[единичную матрицу E, закон (xiii)]. Умножение (при n > 2) не
является коммутативным (см. замечание 2.5).
   Множество с заданными на нем двумя алгебраическими опера-
циями — сложением и умножением, которые удовлетворяют всем
законам, упомянутым в предыдущем абзаце, называется кольцом. С
использованием этого термина предыдущий абзац можно выразить
так: квадратные матрицы заданного размера образуют кольцо.
   Кольцо — это понятие более общее, чем поле. Аксиомы поля 1 —
 9 (см. п. 2.1) требуют, дополнительно к описанным выше аксиомам
кольца, чтобы умножение было коммутативным и чтобы для любого
ненулевого элемента существовал обратный элемент.
   Хотя кольцо квадратных матриц L(n, R) не является коммута-
тивным, в нем существуют элементы, которые коммутируют (т. е.
перестановочны при умножении) с любым элементом этого кольца.
Такими элементами служат матрицы вида
                                            
                             λ 0 ... 0
                            0 λ ... 0 
                      λE =                  ,
                             ... ... ... ...
                              0 0 ... λ

где λ ∈ R.
   В самом деле,

               (xi)         (xiii)   (xiii)       (xi)
       (λE) · A = λ(E · A) == λA == λ(A · E) = A · (λE).

   Сложнее доказать обратное: если квадратная (n × n)-матрица B
коммутирует со всеми (n × n)-матрицами (т. е. удовлетворяет усло-
вию B · A = A · B для любой матрицы A), то B = λE для некоторого
λ ∈ R. Можете попытаться доказать этот факт в качестве упраж-
нения, воспользовавшись следующим указанием: условие коммути-
рования обязано выполняться, в частности, для всех матриц Eij , у
которых лишь в одной позиции (указанной двумя номерами) стоит
единица, а в остальных местах стоят нули.
   Рассмотрим теперь применительно к квадратным матрицам фик-
сированного размера еще одну алгебраическую операцию — умно-
жение матрицы на число (скаляр). Если мы сопоставим скаляру λ
матрицу λE, то операция умножения на скаляр может быть сведена
к операции умножения на матрицу: λA = (λE) · A = A · (λE).