Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 156 стр.

156        Арифметические линейные пространства            Гл. 2

обратный). Аналогично обратимость слева также влечет двусторон-
нюю обратимость.
   Замечание 15.9. Из последнего вывода и из теоремы 15.1 вытека-
ет утверждение, аналогичное этому выводу, но относящееся к мат-
рицам: если для квадратной матрицы A существует обратная спра-
ва (слева) матрица B, т. е. такая, что A · B = E (соответственно
B · A = E), то матрица B является двусторонней обратной к матри-
це A.
   Позже (см. замечание 28.1) это утверждение о матрицах получит
другое обоснование, использующее теорию определителей.

   Соберем теперь наши выводы 1 — 3 и дополнения к ним в одну
теорему.
   Теорема 15.2. Рассмотрим гомоморфизм ϕ ∈ L(Rn , Rm ) и соот-
ветствующую матрицу A ∈ Mat(m, n; R).
   1. Гомоморфизм ϕ является эпиморфизмом тогда и только тогда,
когда n > m и rank(A) = m. Гомоморфизм, обратимый справа, яв-
ляется эпиморфизмом.
   2. Гомоморфизм ϕ является мономорфизмом тогда и только то-
гда, когда n 6 m и rank(A) = n. Гомоморфизм, обратимый слева,
является мономорфизмом.
   3. Гомоморфизм ϕ является изоморфизмом тогда и только тогда,
когда n = m и rank(A) = n, т. е. тогда и только тогда, когда он
является эндоморфизмом и его матрица является невырожденной.
   Для эндоморфизмов условия эпиморфности, мономорфности и
изоморфности, а также условия обратимости справа, обратимости
слева и двусторонней обратимости — равносильны.
  Доказательство проведено выше, перед формулировкой. ¤