Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 155 стр.

§ 15                  Линейные операторы                      155

  В ы в о д 2 а: если для линейного гомоморфизма существует
обратный слева линейный гомоморфизм, то данный гомоморфизм
является мономорфизмом.
   Переходим к исследованию вопроса о том, когда линейный гомо-
морфизм является изоморфизмом.
   Из сделанных выше выводов 1 и 2 сразу следует, что при m 6= n не
существует изоморфизма между пространствами Rn и Rm . Поэтому
рассмотрим случай m = n, т. е. будем изучать линейные эндомор-
физмы ϕ : Rn → Rn .
   Соответствующая такому эндоморфизму матрица A будет квад-
ратной матрицей (размера n × n).
   Из тех же выводов 1 и 2 теперь вытекает, что если эндоморфизм
ϕ является эпиморфизмом, то ранг его матрицы A равняется числу
строк, а значит, и числу столбцов, откуда следует, что ϕ являет-
ся мономорфизмом. В частности, ϕ оказывается биективным отоб-
ражением. Поэтому существует обратное отображение ψ, которое,
в силу замечания 15.6, также будет линейным отображением, т. е.
эндоморфизмом. Тем самым доказано, что ϕ является обратимым
эндоморфизмом, т. е. изоморфизмом.
   Совершенно аналогично доказывается, что мономорфность ϕ вле-
чет его изоморфность.
   Кроме того, вспомним, что условие rank(A) = n есть не что иное,
как условие невырожденности матрицы A (см. определение 14.4).
   Таким образом, справедливо следующее утверждение.
   В ы в о д 3: для линейного эндоморфизма свойства мономорф-
ности, эпиморфности и изоморфности равносильны между собой и
равносильны тому, что соответствующая эндоморфизму квадратная
матрица невырождена.
  Отчасти последний вывод для нас не нов, поскольку, в силу тео-
ремы 14.1, обратимость квадратной матрицы равносильна обрати-
мости (и значит — биективности) соответствующего линейного опе-
ратора.
  Добавления 1а и 2а к первым двум выводам позволяют вывести
следующее добавление к выводу 3.
  В ы в о д 3 а: для линейного эндоморфизма равносильны обра-
тимость справа, обратимость слева и двусторонняя обратимость.
  В самом деле, если эндоморфизм ϕ обратим, скажем, справа, то, в
силу вывода 1а, он является эпиморфизмом и, в силу вывода 3, изо-
морфизмом, а значит, он является обратимым (имеет двусторонний