Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 153 стр.

§ 15                   Линейные операторы                          153

   Для эпиморфности ϕ необходимо и достаточно, чтобы для любого
вектора b̄ ∈ Rm существовал такой вектор x̄ ∈ Rn , что ϕ(x̄) = b̄, т. е.
матрица A, соответствующая ϕ, должна удовлетворять следующему
условию:
   (epi) с.л.у. A · x̄ = b̄ имеет хотя бы одно решение (т. е. совместна)
при любой правой части b̄ ∈ Rm .
   С другой стороны, эпиморфность равносильна тому, что образ Rϕ
совпадает со всем пространством Rm , или, в терминах матрицы A :
RA = Rm . Вспоминая свойства размерности (см. предложение 11.2),
мы можем заключить, что это утверждение равносильно равенству
dim(RA ) = m, или (см. п. 12.2) равенству rank(A) = m.
   В ы в о д 1: линейный гомоморфизм является эпиморфизмом
тогда и только тогда, когда ранг соответствующей матрицы равен
числу строк этой матрицы.
   В частности, при n < m не существует линейных эпиморфизмов
из Rn на Rm .
   Теперь перейдем на "язык односторонних обратных". Если су-
ществует линейный гомоморфизм χ : Rm → Rn , обратный справа к
гомоморфизму ϕ, т. е. удовлетворяющий условию ϕ ◦ χ = εm , где
εm — тождественный гомоморфизм пространства Rm , то данный
гомоморфизм ϕ будет сюръективным отображением (это усматри-
вается точно так же, как и в случае произвольных множеств и их
отображений). Следовательно, ϕ будет эпиморфизмом.
   А вот обратное утверждение менее тривиально. Дело в том, что,
хотя сюръективность данного гомоморфизма влечет (как и в случае
множеств) существование обратного справа отображения, теперь
нам требуется обратное справа линейное отображение. Существо-
вание такого отображения мы докажем позже, во втором семестре,
а пока ограничимся следующим дополнением к выводу 1.
   В ы в о д 1 а: если для линейного гомоморфизма существует
обратный справа линейный гомоморфизм, то данный гомоморфизм
является эпиморфизмом.
  Обратимся к исследованию условий мономорфности линейного го-
моморфизма.
  Гомоморфизм ϕ является мономорфизмом, если под действием ϕ
различные векторы пространства Rn переходят в различные векто-
ры пространства Rm . В частности, в нулевой вектор 0̄ ∈ Rm должен
переходить только нулевой вектор 0̄ ∈ Rn . Последнее условие яв-
ляется не только необходимым, но и достаточным для мономорфно-