Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

152 Арифметические линейные пространства Гл. 2
однозначно определяется своей матрицей A (размера m × n), т. е.
может быть выражен формулой
ϕ(¯x) = A · ¯x; ¯x ∈ R
n
.
Проанализируем вопрос о том, когда гомоморфизм ϕ является
эпиморфизмом (мономорфизмом, изоморфизмом).
Прежде всего опишем образ ϕ(R
n
) данного гомоморфизма (и вве-
дем для него обозначение R
ϕ
). Этот образ состоит из всевозможных
векторов вида ¯y = ϕ(¯x), где ¯x пробегает все пространство R
n
. Но вся-
кий вектор ¯x ∈ R
n
может быть разложен по естественному базису
E
n
= {¯e
1
, ¯e
2
, ..., ¯e
n
}:
¯x =
n
X
j=1
x
j
¯e
j
.
Следовательно, в силу линейности ϕ, всякий вектор из R
ϕ
будет
иметь вид
¯
y =
n
X
j=1
x
j
¯
a
j
,
где ¯a
j
= ϕ(¯e
j
) есть не что иное, как векторы-столбцы матрицы A. Та-
ким образом, вектор ¯y должен быть линейной комбинацией столбцов
матрицы A или, другими словами, должен принадлежать линейной
оболочке
R
A
= h¯a
1
, ¯a
2
, ..., ¯a
n
i
векторов-столбцов матрицы A. (Линейная оболочка R
A
уже рассма-
тривалась в п. 13.1, она является некоторым линейным подпростран-
ством в пространстве R
m
. Подпространство R
A
называлось образом
матрицы A.) Выше нами установлено включение R
ϕ
⊆ R
A
.
Для доказательства обратного включения предположим, что век-
тор ¯y принадлежит подпространству R
A
. Этот вектор представля-
ется в виде линейной комбинации векторов ¯a
j
(j = 1, ..., n). Взяв
линейную комбинацию векторов ¯e
j
(с теми же скалярными коэффи-
циентами), мы построим некоторый вектор ¯x ∈ R
n
, переходящий в ¯y
под действием гомоморфизма ϕ. Значит, ¯y ∈ R
ϕ
.
Теперь полностью доказано, что образ R
ϕ
линейного гомоморфиз-
ма ϕ совпадает с образом R
A
матрицы A, соответствующей этому го-
моморфизму (т. е. с линейной оболочкой векторов-столбцов матри-
цы A).
152         Арифметические линейные пространства                 Гл. 2

однозначно определяется своей матрицей A (размера m × n), т. е.
может быть выражен формулой

                         ϕ(x̄) = A · x̄; x̄ ∈ Rn .

   Проанализируем вопрос о том, когда гомоморфизм ϕ является
эпиморфизмом (мономорфизмом, изоморфизмом).
   Прежде всего опишем образ ϕ(Rn ) данного гомоморфизма (и вве-
дем для него обозначение Rϕ ). Этот образ состоит из всевозможных
векторов вида ȳ = ϕ(x̄), где x̄ пробегает все пространство Rn . Но вся-
кий вектор x̄ ∈ Rn может быть разложен по естественному базису
En = {ē1 , ē2 , ..., ēn }:
                                   Xn
                              x̄ =     xj ēj .
                                   j=1

  Следовательно, в силу линейности ϕ, всякий вектор из Rϕ будет
иметь вид
                              n
                              X
                         ȳ =   xj āj ,
                                  j=1

где āj = ϕ(ēj ) есть не что иное, как векторы-столбцы матрицы A. Та-
ким образом, вектор ȳ должен быть линейной комбинацией столбцов
матрицы A или, другими словами, должен принадлежать линейной
оболочке
                             RA = hā1 , ā2 , ..., ān i
векторов-столбцов матрицы A. (Линейная оболочка RA уже рассма-
тривалась в п. 13.1, она является некоторым линейным подпростран-
ством в пространстве Rm . Подпространство RA называлось образом
матрицы A.) Выше нами установлено включение Rϕ ⊆ RA .
   Для доказательства обратного включения предположим, что век-
тор ȳ принадлежит подпространству RA . Этот вектор представля-
ется в виде линейной комбинации векторов āj (j = 1, ..., n). Взяв
линейную комбинацию векторов ēj (с теми же скалярными коэффи-
циентами), мы построим некоторый вектор x̄ ∈ Rn , переходящий в ȳ
под действием гомоморфизма ϕ. Значит, ȳ ∈ Rϕ .
   Теперь полностью доказано, что образ Rϕ линейного гомоморфиз-
ма ϕ совпадает с образом RA матрицы A, соответствующей этому го-
моморфизму (т. е. с линейной оболочкой векторов-столбцов матри-
цы A).

Страницы