Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 151 стр.

§ 15                 Линейные операторы                      151

(для n > 2); ψ(1) = 1. Отображение ϕ инъективно, но не сюръ-
ективно; отображение ψ сюръективно, но не инъективно, причем
ψ служит левым обратным для ϕ, а ϕ служит правым обратным
для ψ.]
   Замечание 15.7. В следующем параграфе мы сосредоточимся на
изучении отображений конечных множеств. В этой ситуации одно-
сторонняя обратимость отображения конечного множества X в себя
уже влечет настоящую обратимость (биективность) этого отображе-
ния.
   А пока мы перейдем из области теории множеств в область ал-
гебры: вместо произвольных множеств и произвольных отображе-
ний будем рассматривать арифметические линейные пространства
и линейные отображения. (Точнее выражаясь, мы возвращаемся в
область линейной алгебры. Можно было бы рассматривать и другие
алгебраические объекты, например кольца, и гомоморфизмы этих
объектов; см. замечание 15.1.)
   В общей алгебре применяется особая терминология: линейные
отображения, как уже говорилось в указанном выше замечании, име-
нуются линейными гомоморфизмами; сюръективные и инъективные
гомоморфизмы получают специальные названия.
   Определение 15.6. Сюръективные гомоморфизмы называют-
ся эпиморфизмами; инъективные гомоморфизмы называются моно-
морфизмами.
   Определение 15.7. Гомоморфизм, для которого существует об-
ратное отображение, также являющееся гомоморфизмом, называет-
ся изоморфизмом.
   Замечание 15.8. Это понятие уже встречалось нам — см. замеча-
ние 15.1 — причем даже в более общей ситуации. Далее будет дока-
зано, что если гомоморфизм является одновременно эпиморфизмом
и мономорфизмом, т. е. если он является биективным и, следователь-
но, обратимым отображением, то обратное к нему отображение так-
же является гомоморфизмом. (См. ниже вывод 3, а также сделанное
ранее замечание 15.6, на которое этот вывод будет опираться.)
   Таким образом, фактически окажется, что понятие изоморфизма
будет совпадать с понятием биективного гомоморфизма.
   Согласно теореме 15.1, каждый линейный гомоморфизм

                          ϕ : Rn → Rm