Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 150 стр.

150        Арифметические линейные пространства              Гл. 2

совпадающее с отображением ψ 0 на Y 0 . Для этого достаточно любой
элемент y ∈ Y \ Y 0 отправить в произвольный элемент множества X
(можно, например, для любого y ∈ Y \ Y 0 положить ψ(y) = x0 , где
x0 — фиксированный элемент X).
   Так построенное отображение ψ будет левым обратным для дан-
ного отображения ϕ, т. е. будет выполняться равенство

                            ψ ◦ ϕ = εX .

   В другую сторону, если отображение ϕ обратимо слева, то оно
инъективно. В самом деле, применяя к обеим частям условия ϕ(u) =
ϕ(v) отображение ψ, обратное слева для отображения ϕ, мы получим
u = v.
   Таким образом, инъективность отображения равносильна его об-
ратимости слева.
   Отображение ϕ называется биективным (или взаимно однознач-
ным отображением множества X на множество Y ), если оно сюръ-
ективно и инъективно.
   Отображение ϕ является биективным тогда и только тогда, когда
оно обратимо как справа, так и слева, причем из описанного выше
построения отображений χ и ψ (односторонних обратных для ϕ)
ясно, что в данном случае эти два отображения совпадают между
собой: χ = ψ. Можно утверждать, что имеется "настоящее" (двусто-
роннее) обратное отображение ψ, удовлетворяющее двум условиям:

                      ϕ ◦ ψ = εY ; ψ ◦ ϕ = εX .

  Таким образом, биективность отображения равносильна его обра-
тимости.
  Рассмотрим теперь отображение ϕ : X → X множества X в себя.
Это отображение будет биективным тогда и только тогда, когда для
него существует обратное отображение ψ : X → X, которое должно
удовлетворять условиям

                        ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ = εX .

  Легко убедиться на примерах, что из односторонней обратимости,
вообще говоря, не следует настоящая (двусторонняя) обратимость.
  [Рассмотрите два отображения ϕ и ψ множества N натуральных
чисел в себя, заданные формулами ϕ(n) = n + 1; n ∈ N и ψ(n) = n − 1