Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 149 стр.

§ 15                    Линейные операторы                            149

множества X в множество Y ; введем обозначение
                      Y 0 = ϕ(X) = {ϕ(x) : x ∈ X}
для образа отображения ϕ.
  Отображение ϕ называется сюръективным (или, как еще говорят,
"отображением на" множество Y ), если Y 0 = Y.
  Для сюръективного отображения ϕ можно построить обратное
справа отображение
                          χ : Y → X,
такое, что
                               ϕ ◦ χ = εY .
   В самом деле, для любого элемента y ∈ Y найдется элемент x ∈ X
такой, что ϕ(x) = y. Выбирая для каждого y один (любой) из таких
элементов x, мы получим требуемое отображение χ.
   В другую сторону, из существования отображения χ, обратного
справа для отображения ϕ, следует сюръективность отображения ϕ.
Это вытекает из равенства ϕ(χ(y)) = y, справедливого для любого
y ∈ Y : в элемент y под действием отображения ϕ переходит элемент
χ(y) ∈ X.
   Таким образом, сюръективность отображения равносильна его об-
ратимости справа.
   Отображение ϕ называется инъективным (или, как еще говорят,
взаимно однозначным отображением множества X в множество Y ),
если под действием отображения ϕ различные элементы множества
X переходят в различные элементы множества Y. Этот факт можно
также выразить импликацией:
                        (ϕ(u) = ϕ(v)) ⇒ (u = v)
для любых u, v ∈ X.
  Если отображение ϕ инъективно, то существует такое отображе-
ние
                    ψ 0 : Y 0 → X; Y 0 = ϕ(X),
что ψ 0 ◦ ϕ = εX ; достаточно для любого y 0 ∈ Y 0 положить ψ 0 (y 0 ) = x,
где x — такой (однозначно определенный) элемент множества X,
который переходит в y 0 под действием ϕ. Отображение ψ 0 допускает
продолжение с (возможно, более узкого) подмножества Y 0 ⊆ Y на
все множество Y, т. е. существует отображение
                               ψ : Y → X,