Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 147 стр.

§ 15                 Линейные операторы                      147

  Можно было бы, конечно. Но кто бы это понял? Без предвари-
тельного знакомства с системами линейных уравнений, со структу-
рой их общих решений абстрактные определения и теоремы были
бы, на наш взгляд, трудно воспринимаемы.
  А вот "при втором заходе" (во втором семестре, в курсе линейной
алгебры и геометрии) такой вариант изложения будет уже вполне
уместен. В этом курсе многие из изученных понятий будут обоб-
щены, причем некоторые рассуждения придется повторить в новой
ситуации и на новом уровне понимания.

   15.5. Линейные операторы в одном пространстве. Обра-
тимые линейные операторы и обратимые матрицы. В этом
пункте мы рассмотрим множество L(Rn , Rn ) всех линейных операто-
ров, действующих из арифметического линейного пространства Rn
в само это пространство (т. е., как иначе говорят, множество эндо-
морфизмов пространства Rn ; см. замечание 15.1).
   Введем для этого множества более короткое обозначение L(Rn ).
   Для любых двух линейных операторов ϕ, ψ ∈ L(Rn ) определены
их сумма ϕ + ψ и композиция ϕ ◦ ψ (играющая роль произведения),
причем, как показано в предыдущем пункте, выполнены все законы,
позволяющие назвать множество L(Rn ) кольцом (см. п. 14.1).
   При отображении µ, описанном в п. 15.3, каждому линейному опе-
ратору из Rn в Rn будет соответствовать квадратная матрица раз-
мера n × n. В силу теоремы 15.1, это отображение будет изоморфиз-
момом кольца L(Rn ) на кольцо квадратных матриц

                      L(n, R) = Mat(n, n; R).

   Описанное выше кольцо линейных операторов, так же как и
кольцо квадратных матриц, является (при n > 2) некоммутатив-
ным. Но в нем, как и в кольце квадратных матриц, существуют
элементы, коммутирующие со всеми элементами. Такими элемен-
тами будут так называемые скалярные операторы вида λε (λ ∈ R),
соответствующие скалярным матрицам λE.
   Подобно тому как в определении 14.1 в кольце L(n, R) всех квад-
ратных (n×n)-матриц выделялись обратимые матрицы, образующие
(см. замечание 14.3) группу GL(n, R) относительно умножения, так
и в изоморфном кольце L(Rn ) линейных операторов выделяются об-
ратимые линейные операторы.