Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

148 Арифметические линейные пространства Гл. 2
Определение 15.5. Линейный оператор ϕ ∈ L(R
n
) называется
обратимым, если существует оператор ψ ∈ L(R
n
) такой, что
ψ ◦ ϕ = ϕ ◦ ψ = ε. (15.19)
Замечание 15.6. Так же как и в случае с матрицами, если опера-
тор ψ, удовлетворяющий (15.19), существует, то — только один. Он
называется оператором, обратным к ϕ, и обозначается ψ = ϕ
−1
.
Заметим, что обратимость ϕ как элемента кольца равносильна
обратимости отображения ϕ : R
n
→ R
n
.
В самом деле, соотношения (15.19) влекут, очевидно, биектив-
ность ϕ (и ψ); с другой стороны, если отображение ϕ биективно, то
оно и обратное отображение ψ связаны соотношением (15.19), при-
чем отображение ψ тоже будет линейным (соответствующее рассуж-
дение — в более общей ситуации — проведено в начале доказатель-
ства теоремы 15.1).
Введем обозначение GL(R
n
) для множества обратимых линейных
операторов, действующих в пространстве R
n
. В силу теоремы 15.1,
линейный оператор обратим тогда и только тогда, когда обрати-
ма соответствующая ему квадратная матрица, множество обрати-
мых операторов GL(R
n
) является группой относительно композиции,
причем эта группа изоморфна группе обратимых матриц GL(n, R).
Имеют место свойства обратимых операторов, аналогичные свой-
ствам обратимых матриц, перечисленным в предложении 14.1. На-
пример, аналогом формулы (14.2) будет следующая формула:
(ϕ ◦ ψ)
−1
= ψ
−1
◦ ϕ
−1
. (15.20)
15.6. Линейные эпиморфизмы и линейные мономорфиз-
мы. Равносильность мономорфности и эпиморфности для
эндоморфизмов. Данный пункт можно при первом чтении про-
пустить без ущерба для понимания "основного корпуса" материала.
Здесь автор обращается к читателям, обнаружившим в себе некото-
рую склонность к абстрактным вопросам общей алгебры.
Для начала напомним из курса введения в математику понятия
инъективного отображения и сюръективного отображения.
Рассмотрим некоторое отображение
ϕ : X → Y
148        Арифметические линейные пространства            Гл. 2

   Определение 15.5. Линейный оператор ϕ ∈ L(Rn ) называется
обратимым, если существует оператор ψ ∈ L(Rn ) такой, что

                        ψ ◦ ϕ = ϕ ◦ ψ = ε.                (15.19)

   Замечание 15.6. Так же как и в случае с матрицами, если опера-
тор ψ, удовлетворяющий (15.19), существует, то — только один. Он
называется оператором, обратным к ϕ, и обозначается ψ = ϕ−1 .
   Заметим, что обратимость ϕ как элемента кольца равносильна
обратимости отображения ϕ : Rn → Rn .
   В самом деле, соотношения (15.19) влекут, очевидно, биектив-
ность ϕ (и ψ); с другой стороны, если отображение ϕ биективно, то
оно и обратное отображение ψ связаны соотношением (15.19), при-
чем отображение ψ тоже будет линейным (соответствующее рассуж-
дение — в более общей ситуации — проведено в начале доказатель-
ства теоремы 15.1).
   Введем обозначение GL(Rn ) для множества обратимых линейных
операторов, действующих в пространстве Rn . В силу теоремы 15.1,
линейный оператор обратим тогда и только тогда, когда обрати-
ма соответствующая ему квадратная матрица, множество обрати-
мых операторов GL(Rn ) является группой относительно композиции,
причем эта группа изоморфна группе обратимых матриц GL(n, R).
Имеют место свойства обратимых операторов, аналогичные свой-
ствам обратимых матриц, перечисленным в предложении 14.1. На-
пример, аналогом формулы (14.2) будет следующая формула:

                     (ϕ ◦ ψ)−1 = ψ −1 ◦ ϕ−1 .             (15.20)


  15.6. Линейные эпиморфизмы и линейные мономорфиз-
мы. Равносильность мономорфности и эпиморфности для
эндоморфизмов. Данный пункт можно при первом чтении про-
пустить без ущерба для понимания "основного корпуса" материала.
Здесь автор обращается к читателям, обнаружившим в себе некото-
рую склонность к абстрактным вопросам общей алгебры.
  Для начала напомним из курса введения в математику понятия
инъективного отображения и сюръективного отображения.
  Рассмотрим некоторое отображение

                           ϕ:X→Y

Страницы