Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 146 стр.

146        Арифметические линейные пространства                  Гл. 2

   Скажем, ассоциативный закон для композиции линейных опера-
торов вообще не требует отдельного доказательства, поскольку он
справедлив для любых отображений любых множеств. Об этом вам
говорили в подготовительном курсе "Введение в математику". Здесь
мы только "освежим память" небольшой выкладкой.
   Рассмотрим цепочку из трех последовательно действующих (про-
извольных) отображений (произвольных) множеств

                            α      β       γ
                        X −→ Y −→ Z −→ U.

  Докажем ассоциативный закон

                       γ ◦ (β ◦ α) = (γ ◦ β) ◦ α.

  Как левая, так и правая части этого равенства являются отобра-
жениями из множества X в множество U. Равенство отображений
понимается как их равенство на каждом элементе x ∈ X.
  Вычислим на элементе x значение левой части:

           ( γ ◦ (β ◦ α) ) (x) = γ( (β ◦ α)(x) ) = γ(β(α(x))).

  Вычислим теперь на элементе x значение правой части:

          ( (γ ◦ β) ◦ α) ) (x) = (γ ◦ β) (α(x)) = γ(β(α(x))).

   Получились одинаковые результаты. Значит, равенство отобра-
жений доказано.
   Ранее вам было рекомендовано упражнение на правильное фор-
мулирование законов (для случая алгебры линейных операторов).
Теперь вам предлагается дать независимые доказательства для всех
сформулированных законов. Особое внимание обращайте на те эта-
пы доказательств, где используется линейность отображений. [В вы-
шепроведенном рассуждении для закона (xii) линейность совсем не
использовалась. Не будет она использоваться и при доказательстве
закона (xiii), выражающего свойства тождественных отображений ε.
В других случаях (в каких?) без предположения линейности отоб-
ражений не обойтись.]
   И наконец, проясним возможно возникшее у внимательных чита-
телей недоумение: а нельзя ли было с самого начала вести изложение
на языке линейных операторов, а потом, при решении задач, перейти
к вычислениям с матрицами?