Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

144 Арифметические линейные пространства Гл. 2
т. е. будет соответствовать матрице A + B, что и утверждается в
доказываемой формуле.
Доказательство (15.17б). Пусть матрице A соответствует линей-
ный оператор ϕ. Надо доказать, что матрице λA (где λ — скаляр)
будет соответствовать оператор λϕ. Это следует из цепочки равенств
(λϕ)(¯x)
(15.5)
== λ · (ϕ(¯x)) = λ · (A · ¯x)
(xi)
= (λA) · ¯x.
Доказательство (15.18б). Пусть матрице A размера m×n соответ-
ствует линейный оператор ϕ : R
n
→ R
m
; ϕ(¯x) = A· ¯x (¯x ∈ R
n
), а мат-
рице B размера p×m соответствует линейный оператор ψ : R
m
→ R
p
;
ψ(¯y) = B · ¯y (¯y ∈ R
m
). Надо доказать, что матрице B · A будет со-
ответствовать оператор ψ ◦ ϕ : R
n
→ R
p
. Это следует из цепочки
равенств
(ψ ◦ ϕ)(¯x) = ψ(ϕ(¯x)) = ψ(A · ¯x) = B · (A · ¯x)
(xii)
= (B · A) · ¯x.
Теорема доказана. ¤
Замечание 15.4. Доказанная выше теорема позволяет (см. заме-
чание 15.1) "не различать" изоморфные алгебраические системы ли-
нейных операторов и прямоугольных матриц. Все, что доказано для
одной из них, будет справедливо и для другой. Может показаться,
что в такой ситуации стоит ограничиться изучением лишь одной си-
стемы (например, только алгебраической системы матриц, как более
простой для понимания).
Однако этот подход оказывается неплодотворным по многим при-
чинам. Первая причина утилитарна: часто доказательства значи-
тельно проще проводятся "на языке линейных операторов", чем "на
языке матриц" (см. следующий пункт).
Вторая причина более существенна: само понятие линейного опе-
ратора значительно глубже элементарного "бухгалтерского" объек-
та — матрицы. Это понятие будет развиваться далее и переносить-
ся на так называемые абстрактные линейные пространства (в том
числе и бесконечномерные). Именно линейные операторы являют-
ся основным предметом изучения как в линейной алгебре, так и в
линейном функциональном анализе.
А матрицу можно рассматривать как "портрет" линейного опера-
тора. Этот портрет получается с помощью вспомогательных "при-
боров". В случае арифметических линейных пространств такими
144          Арифметические линейные пространства                     Гл. 2

т. е. будет соответствовать матрице A + B, что и утверждается в
доказываемой формуле.
   Доказательство (15.17б). Пусть матрице A соответствует линей-
ный оператор ϕ. Надо доказать, что матрице λA (где λ — скаляр)
будет соответствовать оператор λϕ. Это следует из цепочки равенств

                     (15.5)                        (xi)
            (λϕ)(x̄) == λ · (ϕ(x̄)) = λ · (A · x̄) = (λA) · x̄.

   Доказательство (15.18б). Пусть матрице A размера m×n соответ-
ствует линейный оператор ϕ : Rn → Rm ; ϕ(x̄) = A · x̄ (x̄ ∈ Rn ), а мат-
рице B размера p×m соответствует линейный оператор ψ : Rm → Rp ;
ψ(ȳ) = B · ȳ (ȳ ∈ Rm ). Надо доказать, что матрице B · A будет со-
ответствовать оператор ψ ◦ ϕ : Rn → Rp . Это следует из цепочки
равенств

                                                          (xii)
      (ψ ◦ ϕ)(x̄) = ψ(ϕ(x̄)) = ψ(A · x̄) = B · (A · x̄) = (B · A) · x̄.

  Теорема доказана. ¤
   Замечание 15.4. Доказанная выше теорема позволяет (см. заме-
чание 15.1) "не различать" изоморфные алгебраические системы ли-
нейных операторов и прямоугольных матриц. Все, что доказано для
одной из них, будет справедливо и для другой. Может показаться,
что в такой ситуации стоит ограничиться изучением лишь одной си-
стемы (например, только алгебраической системы матриц, как более
простой для понимания).
   Однако этот подход оказывается неплодотворным по многим при-
чинам. Первая причина утилитарна: часто доказательства значи-
тельно проще проводятся "на языке линейных операторов", чем "на
языке матриц" (см. следующий пункт).
   Вторая причина более существенна: само понятие линейного опе-
ратора значительно глубже элементарного "бухгалтерского" объек-
та — матрицы. Это понятие будет развиваться далее и переносить-
ся на так называемые абстрактные линейные пространства (в том
числе и бесконечномерные). Именно линейные операторы являют-
ся основным предметом изучения как в линейной алгебре, так и в
линейном функциональном анализе.
   А матрицу можно рассматривать как "портрет" линейного опера-
тора. Этот портрет получается с помощью вспомогательных "при-
боров". В случае арифметических линейных пространств такими

Страницы