Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 143 стр.

§ 15                         Линейные операторы                           143

для любого линейного оператора ϕ, любой матрицы A и любого ска-
ляра λ ∈ R;
  3) с действиями композиции (для линейных операторов) и умно-
жения (для матриц), т. е. справедливы соотношения

        а) µ(ψ ◦ ϕ) = µ(ψ) · µ(ϕ); б) ν(B · A) = ν(B) ◦ ν(A)          (15.18)

для любых линейных операторов ϕ ∈ L(Rn , Rm ), ψ ∈ L(Rm , Rp ) и
любых матриц A ∈ Mat(m, n; R), B ∈ Mat(p, m; R).
   Доказательство. Требуется доказать три пары соотношений.
   Первые соотношения в каждой из этих пар выражают согласован-
ность (с одним из трех алгебраических действий) для отображения
µ; вторые соотношения выражают аналогичное свойство для обрат-
ного отображения ν.
   Объясним сначала, что достаточно доказать свойство согласован-
ности лишь для одного из двух взаимно обратных отображений.
Пусть, например, установлено второе из соотношений (15.18б). То-
гда первое соотношение доказывается следующим образом:
               (15.15а)                        (15.18б)
       µ(ψ ◦ ϕ) === µ( ν(µ(ψ)) ◦ ν(µ(ϕ)) ) ===
                                                      (15.15б)
       = µ(ν( µ(ψ) · µ(ϕ) )) = (µ ◦ ν) (µ(ψ) · µ(ϕ)) === µ(ψ) · µ(ϕ).

   [Разумеется, можно было бы начинать с соотношения (15.18а) и
выводить соотношение (15.18б). Точно такое же рассуждение годит-
ся и для двух других пар соотношений. И вообще, как уже отме-
чалось в замечании 15.1, это — общий факт общей алгебры: если
одно из двух взаимно обратных отображений согласовано с алгебра-
ическими действиями, то и другое отображение с ними согласовано.
Отсюда возникает некоторая "свобода": можно доказывать то из
двух соотношений, доказательство которого проще.]
   Приступаем к доказательству вторых соотношений в каждой из
пар (т. е. доказываем согласованность с алгебраическими действия-
ми для отображения ν).
   Доказательство (15.16б). Пусть A, B ∈ Mat(m, n; R) — две матри-
цы одного и того же размера; им [по формуле (15.9)] соответствуют
два линейных оператора, действующих из Rn в Rm и выражаемых
формулами ϕ(x̄) = A·x̄; ψ(x̄) = B·x̄ (x̄ ∈ Rn ). Сумма этих операторов
будет выражаться формулой
                    (15.4)                                (x)
         (ϕ + ψ)(x̄) == ϕ(x̄) + ψ(x̄) = A · x̄ + B · x̄ = (A + B) · x̄,