Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 142 стр.

142          Арифметические линейные пространства             Гл. 2

где одним и тем же символом ε обозначены тождественные отоб-
ражения в двух различных множествах (в первом из соотношений
в правой части фигурирует тождественное отображение множества
линейных операторов, действующих из Rn в Rm , а во втором соот-
ношении — тождественное отображение множества (m × n)-матриц).
   В самом деле, возьмем произвольный линейный оператор ϕ ∈
L(Rn , Rm ). Отображение µ сопоставляет ему матрицу A, заданную
формулой (15.11), а соотношение (15.12) выражает исходный опе-
ратор ϕ через эту матрицу, причем по тому же принципу, что и в
формуле (15.9), задающей отображение (15.14). Таким образом, для
любого линейного оператора ϕ получается ν(µ(ϕ)) = ϕ, т. е. соотно-
шение (15.15а) доказано.
   Обратно, возьмем произвольную (m × n)-матрицу A. Отображе-
ние ν сопоставляет ей линейный оператор ϕ, заданный формулой
(15.9). Выясним, какая матрица будет соответствовать этому опе-
ратору при отображении µ. Для этого надо [см. формулу (15.11)]
применить оператор ϕ к единичным векторам ēj (j = 1, ..., n), т. е.
вычислить произведения A · ēj . Но указанное произведение в точ-
ности равно вектору āj (j-му столбцу матрицы A). Следовательно,
мы вернулись к исходной матрице и тем самым доказали равенство
µ(ν(A)) = A для любой матрицы A. Соотношение (15.15б) также
доказано.
   Другими словами, между множеством всех линейных операторов
в арифметических линейных пространствах и множеством всех пря-
моугольных матриц установлено взаимно однозначное соответствие.
В следующей теореме будет доказана согласованность этого соответ-
ствия с алгебраическими действиями над операторами и над матри-
цами.
  Теорема 15.1. Взаимно однозначное соответствие, заданное ото-
бражениями (15.13) и (15.14), является изоморфизмом алгебраичес-
ких систем, а именно: эти отображения согласованы
  1) со сложением, т. е. справедливы соотношения

      а) µ(ϕ + ψ) = µ(ϕ) + µ(ψ); б) ν(A + B) = ν(A) + ν(B)   (15.16)

для любых линейных операторов ϕ, ψ ∈ L(Rn , Rm ) и любых матриц
A, B ∈ Mat(m, n; R);
   2) с умножением на скаляр, т. е. справедливы соотношения

                 а) µ(λϕ) = λµ(ϕ); б) ν(λA) = λν(A)          (15.17)