Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

140 Арифметические линейные пространства Гл. 2
(Просто A — это краткое обозначение; в более подробном обозна-
чении A
ϕ
явно указывается оператор, по которому построена мат-
рица; это обозначение будет применяться в случае необходимости,
например, если мы будем иметь дело с несколькими операторами и
соответствующими матрицами.)
Определение 15.4. Матрица (15.11) называется матрицей ли-
нейного отображения ϕ относительно естественных базисов в прос-
транствах R
n
и R
m
.
С помощью понятия матрицы линейного оператора действие этого
оператора на вектор может быть записано формулой
ϕ(¯x) = A · ¯x; ¯x ∈ R
n
, (15.12)
следующей из (15.10), с учетом сделанного в начале п. 8.6 замечания
о векторной форме записи матричного произведения A · ¯x.
Пример 15.3. Приведем важнейший (геометрический) пример
линейного оператора. Рассмотрим двумерное арифметическое ли-
нейное пространство (плоскость) R
2
и отображение ϕ : R
2
→ R
2
,
состоящее в том, что всякий вектор ¯x ∈ R
2
поворачивается (вокруг
начала координат) на один и тот же угол α. Это отображение в самом
деле является линейным, поскольку при повороте параллелограммы
переходят в параллелограммы, и следовательно, отображение ϕ со-
гласовано со сложением векторов; еще очевиднее согласованность ϕ
с умножением на скаляр.
Рассмотрим естественный базис [¯e
1
, ¯e
2
] и "новые", повернутые
векторы ¯a
1
= ϕ(¯e
1
) и ¯a
2
= ϕ(¯e
2
). Легко доказать (и вы это в других
обозначениях уже делали в курсе аналитической геометрии), что
¯a
1
= cos α ¯e
1
+ sin α ¯e
2
;
¯a
2
= − sin α ¯e
1
+ cos α ¯e
2
.
Следовательно, матрица (15.11) имеет в данном случае хорошо
знакомый вам вид:
A =
µ
cos α − sin α
sin α cos α
.
140         Арифметические линейные пространства                      Гл. 2

   (Просто A — это краткое обозначение; в более подробном обозна-
чении Aϕ явно указывается оператор, по которому построена мат-
рица; это обозначение будет применяться в случае необходимости,
например, если мы будем иметь дело с несколькими операторами и
соответствующими матрицами.)
  Определение 15.4. Матрица (15.11) называется матрицей ли-
нейного отображения ϕ относительно естественных базисов в прос-
транствах Rn и Rm .
  С помощью понятия матрицы линейного оператора действие этого
оператора на вектор может быть записано формулой

                         ϕ(x̄) = A · x̄; x̄ ∈ Rn ,                   (15.12)

следующей из (15.10), с учетом сделанного в начале п. 8.6 замечания
о векторной форме записи матричного произведения A · x̄.
   Пример 15.3. Приведем важнейший (геометрический) пример
линейного оператора. Рассмотрим двумерное арифметическое ли-
нейное пространство (плоскость) R2 и отображение ϕ : R2 → R2 ,
состоящее в том, что всякий вектор x̄ ∈ R2 поворачивается (вокруг
начала координат) на один и тот же угол α. Это отображение в самом
деле является линейным, поскольку при повороте параллелограммы
переходят в параллелограммы, и следовательно, отображение ϕ со-
гласовано со сложением векторов; еще очевиднее согласованность ϕ
с умножением на скаляр.
   Рассмотрим естественный базис [ē1 , ē2 ] и "новые", повернутые
векторы ā1 = ϕ(ē1 ) и ā2 = ϕ(ē2 ). Легко доказать (и вы это в других
обозначениях уже делали в курсе аналитической геометрии), что

                 ā1   = cos α       ē1     + sin α         ē2 ;
                 ā2   = − sin α     ē1     + cos α         ē2 .

  Следовательно, матрица (15.11) имеет в данном случае хорошо
знакомый вам вид:
                             µ                       ¶
                                 cos α     − sin α
                        A=                               .
                                 sin α      cos α

Страницы