Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 15 Линейные операторы 139
Линейность отображения (15.9) немедленно следует из законов
матричной алгебры, и она фактически уже установлена по ходу до-
казательства предложения 3.1.
Заметьте, в частности, что нулевой матрице отвечает нулевой опе-
ратор, а единичной матрице — тождественный оператор.
15.2. Матрица линейного оператора (относительно есте-
ственных базисов в арифметических линейных пространс-
твах). В последнем примере мы по произвольной прямоугольной
матрице строили линейный оператор. Теперь мы проделаем путь в
противоположном направлении: начнем с произвольного линейного
оператора в арифметических линейных пространствах и сопоставим
ему матрицу.
Рассмотрим линейный оператор ϕ : R
n
→ R
m
и естественные ба-
зисы E
n
и E
m
в пространствах R
n
и R
m
(если забыли этот термин —
вернитесь к примеру 10.2).
Всякий вектор ¯x ∈ R
n
можно разложить по базису E
n
:
¯x =
n
X
j=1
x
j
¯e
j
.
Пользуясь тем, что линейное отображение ϕ сохраняет линейные
комбинации [см. формулу (15.3)], мы можем расписать значение это-
го отображения на векторе ¯x следующим образом:
ϕ(¯x) = ϕ
n
X
j=1
x
j
¯e
j
=
n
X
j=1
x
j
ϕ(¯e
j
).
Вводя обозначение
¯a
j
= ϕ(¯e
j
); j = 1, ..., n
для векторов пространства R
m
, являющихся образами единичных
векторов пространства R
n
, мы получим формулу
ϕ(¯x) =
n
X
j=1
x
j
¯a
j
. (15.10)
Составим из векторов ¯a
j
матрицу размера m × n :
A = A
ϕ
= (¯a
1
| ¯a
2
| ... | ¯a
n
). (15.11)
§ 15                    Линейные операторы                    139

  Линейность отображения (15.9) немедленно следует из законов
матричной алгебры, и она фактически уже установлена по ходу до-
казательства предложения 3.1.
  Заметьте, в частности, что нулевой матрице отвечает нулевой опе-
ратор, а единичной матрице — тождественный оператор.

  15.2. Матрица линейного оператора (относительно есте-
ственных базисов в арифметических линейных пространс-
твах). В последнем примере мы по произвольной прямоугольной
матрице строили линейный оператор. Теперь мы проделаем путь в
противоположном направлении: начнем с произвольного линейного
оператора в арифметических линейных пространствах и сопоставим
ему матрицу.
  Рассмотрим линейный оператор ϕ : Rn → Rm и естественные ба-
зисы En и Em в пространствах Rn и Rm (если забыли этот термин —
вернитесь к примеру 10.2).
  Всякий вектор x̄ ∈ Rn можно разложить по базису En :
                                      n
                                      X
                               x̄ =         xj ēj .
                                      j=1

   Пользуясь тем, что линейное отображение ϕ сохраняет линейные
комбинации [см. формулу (15.3)], мы можем расписать значение это-
го отображения на векторе x̄ следующим образом:
                                   
                           Xn          n
                                       X
                ϕ(x̄) = ϕ          
                              xj ēj =   xj ϕ(ēj ).
                               j=1                 j=1

   Вводя обозначение

                        āj = ϕ(ēj ); j = 1, ..., n

для векторов пространства Rm , являющихся образами единичных
векторов пространства Rn , мы получим формулу
                                       n
                                       X
                             ϕ(x̄) =          xj āj .      (15.10)
                                       j=1

   Составим из векторов āj матрицу размера m × n :

                       A = Aϕ = (ā1 | ā2 | ... | ān ).   (15.11)

Страницы