Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 137 стр.

§ 15                    Линейные операторы                             137

  Столь же просто, как и выше, для отображения (15.4) проверя-
ются свойства (15.1) и (15.2) и, таким образом, доказывается, что
λϕ ∈ L(Rn , Rm ).
  Роль умножения для линейных операторов играет композиция по-
следовательно действующих отображений. Если ϕ ∈ L(Rn , Rm ) и
ψ ∈ L(Rm , Rp ) — два последовательно действующих линейных опе-
ратора в арифметических линейных пространствах, то их компози-
ция
            ψ ◦ ϕ : Rn → Rp ; (ψ ◦ ϕ)(x̄) = ψ(ϕ(x̄)); x̄ ∈ Rn (15.6)
также является линейным оператором, принадлежащим L(Rn , Rp ).
   Для разнообразия проверим свойство (15.2) [оставляя проверку
свойства (15.1) в качестве упражнения]:

 (ψ ◦ ϕ)(λx̄) = ψ(ϕ(λx̄)) = ψ(λ · ϕ(x̄)) = λ · ψ(ϕ(x̄)) = λ · (ψ ◦ ϕ)(x̄).

  Замечание 15.3 (для служебного пользования). С обозначением
композиции отображений в алгебре царит разнобой. Имеются две
непримиримые партии. "Левые" записывают композицию двух отоб-
ражений множеств

                         ϕ:X →Y; ψ :Y →Z

следующим образом:

             ψ ◦ ϕ : X → Z; (ψ ◦ ϕ)(x) = ψ(ϕ(x)); x ∈ X.

  "Правые" придерживаются противоположных принципов. Во-пе-
рвых, они знак отображения помещают справа от элемента, на кото-
рый действует отображение, во-вторых, по возможности, стараются
избегать скобок и, в-третьих, используют противоположный поря-
док записи сомножителей (отображений):

              ϕ ◦ ψ : X → Z; x(ϕ ◦ ψ) = (xϕ)ψ; x ∈ X.

  По большому счету, конечно, правосторонняя и левосторонняя за-
писи совершенно равноправны. "Правые" могут привести примеры
из других разделов математики, где успешно используется бесско-
бочная правосторонняя запись и будут, как обычно, правы.
  Но если говорить о линейной алгебре, то, по-видимому, нет дру-
гой области математики, в которой правосторонняя система обозна-
чений была бы менее удобна. Уже в следующем пункте при изуче-
нии матричного задания линейных операторов мы сможем убедиться