Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

136 Арифметические линейные пространства Гл. 2
что линейное отображение "сохраняет" линейные комбинации, т. е.
ϕ
Ã
k
X
i=1
λ
i
¯a
i
!
=
k
X
i=1
λ
i
ϕ(¯a
i
) (15.3)
для любых векторов ¯a
i
∈ R
n
и любых скаляров λ
i
∈ R (i = 1, ..., k).
Переходим к описанию трех алгебраических действий над линей-
ными операторами. Так же как и алгебраические действия над пря-
моугольными матрицами, они бывают осуществимы не всегда. Сло-
жить можно будет только такие два линейных оператора ϕ и ψ,
которые действуют из одного и того же арифметического линейного
пространства R
n
в одно и то же пространство R
m
. Точное определе-
ние:
Определение 15.2. Суммой двух линейных операторов ϕ, ψ ∈
L(R
n
, R
m
) называется поточечная сумма отображений ϕ и ψ :
ϕ + ψ : R
n
→ R
m
; (ϕ + ψ)(¯x) = ϕ(¯x) + ψ(¯x); ¯x ∈ R
n
. (15.4)
Легко доказать, что сумма ϕ + ψ двух линейных операторов са-
ма является линейным оператором, принадлежащим L(R
n
, R
m
). В
самом деле,
(ϕ + ψ)(¯x + ¯y) = ϕ(¯x + ¯y) + ψ(¯x + ¯y) =
=(ϕ(¯x) + ϕ(¯y)) + (ψ(¯x) + ψ(¯y)) =
=(ϕ(¯x) + ψ(¯x)) + (ϕ(¯y) + ψ(¯y)) =
=(ϕ + ψ)(¯x) + (ϕ + ψ)(¯y),
и свойство (15.1) доказано.
Аналогично доказывается второе свойство, входящее в определе-
ние линейности отображения [свойство (15.2)].
Умножение линейного оператора на скаляр также определяется
поточечно:
Определение 15.3. Произведением линейного отображения ϕ ∈
L(R
n
, R
m
) на скаляр λ ∈ R называется отображение
λϕ : R
n
→ R
m
; (λϕ)(¯x) = λ · ϕ(¯x); ¯x ∈ R
n
. (15.5)
136         Арифметические линейные пространства                         Гл. 2

что линейное отображение "сохраняет" линейные комбинации, т. е.
                           Ã   k
                                              !       k
                               X                      X
                       ϕ             λi āi       =         λi ϕ(āi )   (15.3)
                               i=1                    i=1


для любых векторов āi ∈ Rn и любых скаляров λi ∈ R (i = 1, ..., k).
  Переходим к описанию трех алгебраических действий над линей-
ными операторами. Так же как и алгебраические действия над пря-
моугольными матрицами, они бывают осуществимы не всегда. Сло-
жить можно будет только такие два линейных оператора ϕ и ψ,
которые действуют из одного и того же арифметического линейного
пространства Rn в одно и то же пространство Rm . Точное определе-
ние:
  Определение 15.2. Суммой двух линейных операторов ϕ, ψ ∈
L(Rn , Rm ) называется поточечная сумма отображений ϕ и ψ :

      ϕ + ψ : Rn → Rm ; (ϕ + ψ)(x̄) = ϕ(x̄) + ψ(x̄); x̄ ∈ Rn .           (15.4)


  Легко доказать, что сумма ϕ + ψ двух линейных операторов са-
ма является линейным оператором, принадлежащим L(Rn , Rm ). В
самом деле,

                 (ϕ + ψ)(x̄ + ȳ) = ϕ(x̄ + ȳ) + ψ(x̄ + ȳ) =
               =(ϕ(x̄) + ϕ(ȳ)) + (ψ(x̄) + ψ(ȳ)) =
               =(ϕ(x̄) + ψ(x̄)) + (ϕ(ȳ) + ψ(ȳ)) =
               =(ϕ + ψ)(x̄) + (ϕ + ψ)(ȳ),

и свойство (15.1) доказано.
   Аналогично доказывается второе свойство, входящее в определе-
ние линейности отображения [свойство (15.2)].
   Умножение линейного оператора на скаляр также определяется
поточечно:
  Определение 15.3. Произведением линейного отображения ϕ ∈
L(Rn , Rm ) на скаляр λ ∈ R называется отображение

              λϕ : Rn → Rm ; (λϕ)(x̄) = λ · ϕ(x̄); x̄ ∈ Rn .             (15.5)

Страницы