Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 135 стр.

§ 15                    Линейные операторы                          135

   Отображение какого-либо алгебраического объекта в однотипный
объект называется гомоморфизмом, если оно согласовано со всеми
алгебраическими действиями, характерными для данного типа объ-
ектов. Так, гомоморфизмы линейных пространств – это не что иное,
как линейные отображения. Бывают еще гомоморфизмы групп, ко-
лец и т.д. На этом языке гомоморфизмы алгебраического объекта в
себя именуются эндоморфизмами.
   Из языка общей алгебры нам вскоре понадобится еще один тер-
мин. Гомоморфизм (каких-либо алгебраических объектов) называ-
ется изоморфизмом, если он является взаимно однозначным отобра-
жением (биекцией). Легко доказать, что в этом случае отображе-
ние, обратное к данному гомоморфизму, также будет являться го-
моморфизмом (а значит, и изоморфизмом; получается пара взаимно
обратных изоморфизмов). (Для некоторых частных типов алгебра-
ических объектов, например при доказательстве теоремы 15.1, это
будет проделано ниже.)
   В частности, изоморфизм линейных пространств — это взаимно
однозначное линейное отображение одного пространства на другое.
В п. 15.6 мы значительно подробнее остановимся на линейных изо-
морфизмах; докажем что между различными арифметическими ли-
нейными пространствами не может быть изоморфизма.
   С точки зрения общей алгебры изоморфные объекты неразличи-
мы (их возможные различия лежат вне сферы, изучаемой этой нау-
кой).
   Слово "изоморфизм" является, наверное, самым важным словом
во всей математике. Вам еще предстоит изучить много так назы-
ваемых теорем об изоморфизме и познакомиться (в связи с этим
понятием) с афоризмами типа: "Математика — это искусство назы-
вать разные вещи одинаковыми именами".

   Замечание 15.2. Отметим некоторые непосредственные следствия
из определения 12.1.
   Во-первых, линейное отображение переводит нулевой вектор сно-
ва в нулевой: ϕ(0̄) = 0̄. (Это следует из возможности вынести ска-
лярный нуль из-под знака ϕ; однако можно рассуждать и иначе:
равенство 0̄ + 0̄ = 0̄ влечет равенство ϕ(0̄) + ϕ(0̄) = ϕ(0̄), добавляя к
обеим частям которого вектор, противоположный ϕ(0̄), мы получаем
требуемое.)
   Во-вторых, комбинируя свойства (15.1) и (15.2), легко доказать,