Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 134 стр.

134        Арифметические линейные пространства             Гл. 2

               § 15. Линейные операторы
      в арифметических линейных пространствах


  15.1. Линейные отображения арифметических линейных
пространств и алгебраические действия над ними. На инту-
итивном уровне представление о свойстве линейности для отображе-
ний было дано уже в самом начале настоящего пособия, в замеча-
нии 1.1. Сейчас мы дадим строгое определение понятия линейного
отображения из одного арифметического линейного пространства в
другое.
   Определение 15.1. Отображение ϕ : Rn → Rm называется ли-
нейным отображением (или линейным оператором), если оно согла-
совано с алгебраическими действиями сложения векторов и умноже-
ния вектора на скаляр, т. е. если выполнены следующие два условия:
   — согласованность со сложением:

                      ϕ(ā + b̄) = ϕ(ā) + ϕ(b̄);           (15.1)

  — согласованность с умножением на скаляр (или правило вынесе-
ния скаляра из-под знака линейного оператора):

                          ϕ(λā) = λϕ(ā),                  (15.2)

для любых векторов ā, b̄ ∈ Rn и любого скаляра λ ∈ R.
  Множество всех линейных операторов из пространства Rn в про-
странство Rm обозначается L(Rn , Rm ).
   Замечание 15.1. В некоторых учебниках по алгебре термин "ли-
нейное отображение" считается более общим, а термин "линейный
оператор" закрепляется за линейными отображениями из одного ли-
нейного пространства в само это линейное пространство. Такое сло-
воупотребление расходится с практикой других математических дис-
циплин (например, функционального анализа), и мы здесь от него
отказываемся, считая в дальнейшем упомянутые термины синони-
мами.
   Остановимся еще на одном варианте терминологии, характерном
для так называемой общей алгебры (науки, изучающей множества
с заданными на них алгебраическими действиями: группы, кольца,
поля, линейные пространства и т. п.).