Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 141 стр.

§ 15                     Линейные операторы                   141

   15.3. Теорема об изоморфизме для алгебраической систе-
мы линейных операторов в арифметических линейных про-
странствах и алгебраической системы прямоугольных мат-
риц. Пришел черед первой серьезной теоремы, устанавливающей
изоморфизм между двумя алгебраическими объектами (или, как
еще говорят, алгебраическими системами). Перечитайте замечание
15.1, именно там было описано общее понятие изоморфизма алгеб-
раических объектов (систем), здесь оно будет конкретизировано.
   Одной из алгебраических систем будет множество всех прямоу-
гольных матриц с алгебраическими действиями сложения, умноже-
ния на скаляр и умножения, описанными в п. 1.2.
   Второй алгебраической системой будет описанное в п. 15.1 множе-
ство всевозможных линейных операторов в арифметических линей-
ных пространствах, наделенное алгебраическими действиями сложе-
ния, умножения на скаляр и композиции.
   Сопоставляя каждому линейному оператору ϕ ∈ L(Rn , Rm ) соот-
ветствующую ему матрицу Aϕ ∈ Mat(m, n; R), мы получаем отобра-
жение
             µ : L(Rn , Rm ) → Mat(m, n; R); µ(ϕ) = Aϕ .    (15.13)
  [Вообще-то, формула (15.13) задает не одно отображение, а се-
мейство отображений: при различных значениях размерностей m
и n получаются различные отображения. В таких случаях можно
вводить "различающие индексы" и писать µm,n , но сейчас нам этого
делать не хочется. Громоздкие обозначения не способствуют пони-
манию.]
  А теперь вернемся к примеру 15.2. В этом примере мы с помо-
щью формулы (15.9) по матрице строили линейный оператор. Так
возникает отображение (встречное по отношению к µ)

             ν : Mat(m, n; R) → L(Rn , Rm ); ν(A) = ϕA .    (15.14)

   Убедимся, что отображения
                             µ
                    n     −−−−−−→
                          m
                L(R , R )         Mat(m, n; R)
                          ←−−−−−−
                             ν
не просто действуют навстречу друг другу, но являются взаимно
обратными отображениями, т. е. справедливы два соотношения

                        а) ν ◦ µ = ε; б) µ ◦ ν = ε,         (15.15)