Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 145 стр.

§ 15                  Линейные операторы                      145

"приборами" могут служить естественные базисы. Но могут исполь-
зоваться и другие "приборы" (базисы). И, что очень важно, для
того же самого оператора в других базисах может получиться луч-
шая "фотография", по которой мы сможем непосредственно увидеть
интересующие нас свойства оператора.

   15.4. Законы для алгебраических действий над линейны-
ми операторами. В первой главе, в п. 2.3, были доказаны законы
(i) — (xiii) для алгебраических действий над матрицами. Выше, в п.
15.3, было доказано, что существует изоморфизм между алгебраи-
ческой системой прямоугольных матриц и алгебраической системой
линейных операторов в арифметических линейных пространствах,
при котором сложению матриц соответствует сложение линейных
операторов, умножению матрицы на скаляр — умножение операто-
ра на скаляр, умножению матриц — композиция операторов.
   Всякому истинному утверждению, относящемуся к элементам ал-
гебраической системы (и результатам алгебраических действий над
ними), соответствует истинное утверждение, относящееся к элемен-
там и результатам алгебраических действий в изоморфной алгебра-
ической системе. Поэтому "автоматически" оказываются справед-
ливыми 13 законов, аналогичных законам (i) — (xiii), для алгебра-
ических действий над линейными операторами в арифметических
линейных пространствах.
   Например, первому дистрибутивному закону (ix) будет соответс-
твовать следующее утверждение.
   Пусть α, β ∈ L(Rn , Rm ) — два линейных оператора, действующих
из Rn в Rm , γ ∈ L(Rp , Rn ) — еще один линейный оператор, действу-
ющий из Rp в Rn . Тогда имеет место равенство

                    (α + β) ◦ γ = α ◦ γ + β ◦ γ.

   Очень полезным для "вживания" в проблематику общей алгебры
было бы следующее упражнение: выписать подробно формулировки
всех 13 законов для алгебры линейных операторов.
  Замечание 15.5. В силу теоремы 15.1, законы для алгебраических
действий над линейными операторами не требуют доказательства.
  Однако, если вы попробуете все-таки провести для этих законов
независимые доказательства (не опирающиеся на связь операторов с
матрицами), то вы скоро убедитесь, что новые доказательства будут
значительно проще тех, которые проводились (для матриц) в п. 2.3.