Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

154 Арифметические линейные пространства Гл. 2
сти ϕ. В самом деле, если в нулевой вектор переходит лишь нулевой
вектор, то из равенства ϕ(¯u) = ϕ(¯v) (¯u,
¯
v ∈ R
n
), в силу линейности
ϕ, следует:
ϕ(¯u − ¯v) = ϕ(¯u) − ϕ(¯v) =
¯
0,
т. е. вектор ¯u − ¯v отображается в нулевой вектор и, следовательно,
сам равняется нулю; значит, ¯u = ¯v.
В терминах матрицы A полученное выше условие мономорфности
выглядит следующим образом:
(mono) однородная с.л.у. A · ¯x =
¯
0 имеет только тривиальное
(нулевое) решение.
Введем понятие ядра (или нуль-пространства) для линейного го-
моморфизма .
Определение 15.8. Ядром линейного гомоморфизма ϕ называ-
ется множество
L
0
ϕ
= { ¯x ∈ R
n
: ϕ(¯x) =
¯
0 }.
Очевидно, это множество совпадает с ядром L
0
A
матрицы A (опре-
деленным в п. 13.1), которое, как известно, является некоторым ли-
нейным подпространством в пространстве R
n
.
Приведенное выше условие (mono) сводится к тому, что подпро-
странство L
A
является нулевым: L
0
A
= O. Это, в свою очередь,
равносильно (см. предложение 12.2) равенству нулю размерности
dim(L
0
A
) = 0, или, в силу предложения 11.3, равенству rank(A) = n.
В ы в о д 2: линейный гомоморфизм является мономорфизмом
тогда и только тогда, когда ранг соответствующей матрицы равен
числу столбцов этой матрицы.
В частности, при n > m не существует линейных мономорфизмов
из R
n
в R
m
.
Снова обсудим версию полученного вывода, выраженную с помо-
щью односторонних обратных гомоморфизмов.
Если для гомоморфизма ϕ существует обратный слева гомомор-
физм ψ : R
m
→ R
n
; ψ ◦ ϕ = ε
n
, то, рассуждая так же, как в слу-
чае произвольных множеств и их отображений, мы заключим, что
ϕ является инъективным отображением и, следовательно, мономор-
физмом. И опять для доказательства обратного утверждения потре-
буется более "тонкое" исследование, которое мы пока отложим. А
сейчас приведем следующее дополнение к выводу 2.
154         Арифметические линейные пространства                 Гл. 2

сти ϕ. В самом деле, если в нулевой вектор переходит лишь нулевой
вектор, то из равенства ϕ(ū) = ϕ(v̄) (ū, v̄ ∈ Rn ), в силу линейности
ϕ, следует:
                    ϕ(ū − v̄) = ϕ(ū) − ϕ(v̄) = 0̄,

т. е. вектор ū − v̄ отображается в нулевой вектор и, следовательно,
сам равняется нулю; значит, ū = v̄.
   В терминах матрицы A полученное выше условие мономорфности
выглядит следующим образом:
   (mono) однородная с.л.у. A · x̄ = 0̄ имеет только тривиальное
(нулевое) решение.
   Введем понятие ядра (или нуль-пространства) для линейного го-
моморфизма .

   Определение 15.8. Ядром линейного гомоморфизма ϕ называ-
ется множество
                 L0ϕ = { x̄ ∈ Rn : ϕ(x̄) = 0̄ }.


   Очевидно, это множество совпадает с ядром L0A матрицы A (опре-
деленным в п. 13.1), которое, как известно, является некоторым ли-
нейным подпространством в пространстве Rn .
   Приведенное выше условие (mono) сводится к тому, что подпро-
странство LA является нулевым: L0A = O. Это, в свою очередь,
равносильно (см. предложение 12.2) равенству нулю размерности
dim(L0A ) = 0, или, в силу предложения 11.3, равенству rank(A) = n.
   В ы в о д 2: линейный гомоморфизм является мономорфизмом
тогда и только тогда, когда ранг соответствующей матрицы равен
числу столбцов этой матрицы.
   В частности, при n > m не существует линейных мономорфизмов
из Rn в Rm .

   Снова обсудим версию полученного вывода, выраженную с помо-
щью односторонних обратных гомоморфизмов.
   Если для гомоморфизма ϕ существует обратный слева гомомор-
физм ψ : Rm → Rn ; ψ ◦ ϕ = εn , то, рассуждая так же, как в слу-
чае произвольных множеств и их отображений, мы заключим, что
ϕ является инъективным отображением и, следовательно, мономор-
физмом. И опять для доказательства обратного утверждения потре-
буется более "тонкое" исследование, которое мы пока отложим. А
сейчас приведем следующее дополнение к выводу 2.

Страницы