Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3
ТЕОРИЯ ПЕРЕСТАНОВОК
§
§
§ 16. Перестановки
и алгебраические действия над ними
16.1. Биекции конечного множества. Сейчас нам снова пред-
стоит заняться вопросами, относящимися к теории множеств и общей
алгебре.
Рассмотрим конечное множество X, состоящее из n элементов.
Поскольку для математика природа этих элементов не важна (он же
не ботаник!), то занумеруем элементы множества X натуральными
числами и будем считать, что множество X состоит из этих номеров:
X = {1, 2, . . . , n}. (16.1)
Определение 16.1. Перестановкой степени n будем называть
биективное отображение (биекцию) n-элементного множества X на
себя:
ϕ : X −→ X; i 7→ ϕ(i); i = 1, 2, ..., n.
Множество всех перестановок степени n будем обозначать симво-
лом S
n
и для произвольной перестановки ϕ ∈ S
n
будем применять
двустрочную запись:
ϕ =
µ
1 2 . . . n
ϕ(1) ϕ(2) . . . ϕ(n)
, (16.2)
указывая во второй строке, куда переходит каждый элемент множе-
ства X (представленного в первой строке).
Замечание 16.1. Подчеркнем, что перестановки суть отображе-
ния и равенство двух перестановок ϕ, ψ ∈ S
n
есть равенство отобра-
жений:
[ ϕ = ψ ] ⇐⇒ (∀i = 1, ..., n)[ϕ(i) = ψ(i)].
                            Глава 3
             ТЕОРИЯ ПЕРЕСТАНОВОК


                    § 16. Перестановки
        и алгебраические действия над ними
   16.1. Биекции конечного множества. Сейчас нам снова пред-
стоит заняться вопросами, относящимися к теории множеств и общей
алгебре.
   Рассмотрим конечное множество X, состоящее из n элементов.
Поскольку для математика природа этих элементов не важна (он же
не ботаник!), то занумеруем элементы множества X натуральными
числами и будем считать, что множество X состоит из этих номеров:

                        X = {1, 2, . . . , n}.              (16.1)

   Определение 16.1. Перестановкой степени n будем называть
биективное отображение (биекцию) n-элементного множества X на
себя:
               ϕ : X −→ X; i 7→ ϕ(i); i = 1, 2, ..., n.
  Множество всех перестановок степени n будем обозначать симво-
лом Sn и для произвольной перестановки ϕ ∈ Sn будем применять
двустрочную запись:
                    µ                      ¶
                       1     2    ...   n
                ϕ=                           ,            (16.2)
                      ϕ(1) ϕ(2) . . . ϕ(n)
указывая во второй строке, куда переходит каждый элемент множе-
ства X (представленного в первой строке).
  Замечание 16.1. Подчеркнем, что перестановки суть отображе-
ния и равенство двух перестановок ϕ, ψ ∈ Sn есть равенство отобра-
жений:
             [ ϕ = ψ ] ⇐⇒ (∀i = 1, ..., n)[ϕ(i) = ψ(i)].

Страницы