Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 2 Законы матричной алгебры 33
являются квадратные матрицы вида
E
n×n
=
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
. (2.7)
Элементы матрицы E имеют специальное обозначение и имя —
они образуют так называемый символ Кронекера:
[E]
ij
= δ
ij
; δ
ij
=
½
0, если i 6= j;
1, если i = j,
(2.8)
где i, j = 1, ..., n.
Снова ограничимся доказательством одного из двух равенств, вхо-
дящих в (xiii). Размеры матриц слева и справа от знака равенства
одинаковы; проверим равенство соответствующих элементов:
[A · E]
ik
(1.6)
==
n
X
j=1
a
ij
δ
jk
(2.8)
== a
ik
(2.4)
== [A]
ik
,
где i = 1, ..., m; k = 1, ..., n (поясним, что в сумме, выписанной выше,
лишь одно из значений символа Кронекера отлично от нуля, вот
почему от этой суммы осталось одно слагаемое).
5. В заключение нам предстоит доказать четыре закона для опе-
рации транспонирования. Но закон (xiv) совершенно очевиден, а
доказательство законов (xv) и (xvi) должно составить простейшее
упражнение для читателей (после целого ряда разобранных выше
более сложных доказательств).
Кстати, последние законы выражают факт линейности отображе-
ния транспонирования A 7→ A
t
; см. замечание 1.1.
Обратимся к проверке равенства (xvii). Обе части этого равенства
являются матрицами размера p×n; проверим равенство соответству-
ющих элементов:
[(A · B)
t
]
ki
(2.1)
== [A · B]
ik
(1.6)
==
=
n
X
j=1
a
ij
b
jk
(2.1)
==
n
X
j=1
[A
t
]
ji
[B
t
]
kj
7
==
=
n
X
j=1
[B
t
]
kj
[A
t
]
ji
(1.6)
== [B
t
· A
t
]
ki
,
§2                    Законы матричной алгебры                                33

являются квадратные матрицы вида
                                                             
                           1 0                     ...     0
                        0 1                       ...     0
                   E =                                       .             (2.7)
                  n×n     ... ...                  ...    ...
                           0 0                     ...     1
  Элементы матрицы E имеют специальное обозначение и имя —
они образуют так называемый символ Кронекера:
                                   ½
                                     0, если i 6= j;
               [E]ij = δij ; δij =                     (2.8)
                                     1, если i = j,
где i, j = 1, ..., n.
   Снова ограничимся доказательством одного из двух равенств, вхо-
дящих в (xiii). Размеры матриц слева и справа от знака равенства
одинаковы; проверим равенство соответствующих элементов:
                                 n
                                 X
                        (1.6)                  (2.8)             (2.4)
               [A · E]ik ==            aij δjk == aik == [A]ik ,
                                 j=1

где i = 1, ..., m; k = 1, ..., n (поясним, что в сумме, выписанной выше,
лишь одно из значений символа Кронекера отлично от нуля, вот
почему от этой суммы осталось одно слагаемое).
   5. В заключение нам предстоит доказать четыре закона для опе-
рации транспонирования. Но закон (xiv) совершенно очевиден, а
доказательство законов (xv) и (xvi) должно составить простейшее
упражнение для читателей (после целого ряда разобранных выше
более сложных доказательств).
   Кстати, последние законы выражают факт линейности отображе-
ния транспонирования A 7→ At ; см. замечание 1.1.
   Обратимся к проверке равенства (xvii). Обе части этого равенства
являются матрицами размера p×n; проверим равенство соответству-
ющих элементов:
                                  (2.1)                  (1.6)
                  [(A · B)t ]ki == [A · B]ik ==
                      n
                      X                     n
                                            X
                                    (2.1)                                7
                  =         aij bjk ==            [At ]ji [B t ]kj ==
                      j=1                   j=1
                      Xn
                                            (1.6)
                  =         [B t ]kj [At ]ji == [B t · At ]ki ,
                      j=1

Страницы