Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 32 стр.

32     Системы линейных уравнений и алгебра матриц                                           Гл. 1

этого множителя индекса i, по которому проводится суммирование.
Подчеркнем для дальнейшего, что у выносимого из-под знака суммы
(вносимого под знак суммы) множителя могут быть другие индексы,
отличные от индекса, по которому проводится суммирование.
   3. Докажем теперь ассоциативность матричного умножения, т. е.
закон (xii). Ключевым звеном в цепочке преобразований будет пе-
ремена порядка суммирования в двойной сумме, которая произво-
одится в соответствии со следующим "бухгалтерским" правилом пе-
регруппировки слагаемых в сумме по двум индексам:
                                   Ãm     !
                  Xm    Xn         n
                                   X  X
                          aij  =       aij .              (2.6)
                        i=1      j=1               j=1    i=1

   Сумма сумм по строкам (в заполняемой бухгалтером таблице)
должна сходится с суммой сумм по столбцам. Это правило сле-
дует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Его
справедливость позволяет в принципе не ставить в двойных суммах
скобки.
   Понадобится также правило (2.5) и следующее за ним пояснение.
   Как обычно, рассуждение начинается с того, что мы убеждаемся
в совпадении размеров матриц в левой и правой частях (xii): матри-
ца A · B имеет размеры m × p, матрица B · C — размеры n × q, обе
части равенства являются (m × q)-матрицами. Проверяем совпаде-
ние соответствующих элементов (индексы i, j, k, l будут изменяться
в пределах от 1 до m, n, p, q соответственно):
                                      p
                                      X
                              (1.6)                       (1.6)
        [(A · B) · C]il ==                  [A · B]ik ckl ==
                                      k=1
                                                  
           p
           X X n                   p   n
                             (2.5) X X                 (2.6)
         =             
                 aij bjk ckl ==         aij bjk ckl  ==
             k=1       j=1                          k=1      j=1
             n p
                   Ã                       !         n
                                                             Ã   p
                                                                                 !
             X X                               (2.5) X           X                   (1.6)
         =                   aij bjk ckl        ==     aij             bjk ckl       ==
             j=1     k=1                           j=1           k=1
             Xn
                                      (1.6)
         =         aij [B · C]jl == [A · (B · C)]il .
             j=1

  4. Докажем закон (xiii), указав единичные матрицы (обладаю-
щие свойствами единиц в матричной алгебре). Такими матрицами