Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 30 стр.

30     Системы линейных уравнений и алгебра матриц                                   Гл. 1

   В частности, роль нулевого элемента (в каждом размере) игра-
ет, очевидно, матрица, составленная только из нулей, а чтобы найти
матрицу, противоположную данной, надо поменять знаки перед все-
ми элементами данной матрицы. Заметим также, что неравноправ-
ность сомножителей при умножении матрицы на число приводит к
необходимости отдельной формулировки двух дистрибутивных за-
конов (v) и (vi).
   2. Обратимся теперь к дистрибутивным законам (ix) — (x). Их
тоже два, но по другой причине: как будет показано ниже, умно-
жение матриц не удовлетворяет коммутативному закону. Доказа-
тельство мы приведем лишь для первого из этих законов, оставив
второе (вполне аналогичное) доказательство в качестве задания для
читателей.
   Чтобы не вводить новые буквы для промежуточных результатов
алгебраических действий, нам будет удобно применять символ из-
влечения элемента указанной позиции из матрицы; для (m × n)-
матрицы (1.3) положим:

                     [A]ij = aij ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.                      (2.4)

   Далее заметим, что размеры матриц в правой и левой частях до-
казываемого равенства совпадают (и равны m × p). Теперь требует-
ся доказать совпадение всех соответствующих элементов двух этих
матриц:

                            n
                            X                     n
                         (1.6)              (1.4) X                  5
     [(A + B) · C]ik     ==   [A + B]ij cjk ==      (aij + bij )cjk ==
                                 j=1                        j=1
         n
         X                                     n
                                               X                 n
                                                                 X
                                       1 , 2                                 (1.6)
     =         (aij cjk + bij cjk ) =====            aij cjk +         bij cjk ==
         j=1                                   j=1               j=1
                                       (1.4)
     = [A · C]ik + [B · C]jk == [A · C + B · C]ik ,

где i = 1, ..., m; k = 1, ..., p.
   Обратите внимание на то, что точки (обозначающие различные
умножения) часто опускаются, а также на стиль оформления преоб-
разований, когда над знаками равенства в цепочке вычислений мы
указываем номера формул (в качестве ссылок на используемые опре-
деления и законы). Например, над четвертым равенством в цепочке
мы даем ссылку на ассоциативный и коммутативный законы для