Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 2 Законы матричной алгебры 29
(i) ∀ A
m×n
, B
m×n
, C
m×n
[(A + B) + C = A + (B + C)];
(ii) ∀ A
m×n
, B
m×n
[A + B = B + A];
(iii) ∃ O
m×n
∀ A
m×n
[A + O = O + A = A];
(iv) ∀ A
m×n
∃ B
m×n
[A + B = O];
(v) ∀ λ, µ, A
m×n
[(λ + µ) · A = λ · A + µ · A];
(vi) ∀ λ, A
m×n
, B
m×n
[λ · (A + B) = λ · A + λ · B];
(vii) ∀ λ, µ, A
m×n
[(λ · µ) · A = λ · (µ · A)];
(viii) ∀ A
m×n
[1 · A = A];
(ix) ∀ A
m×n
, B
m×n
, C
n×p
[(A + B) · C = A · C + B · C];
(x) ∀ A
m×n
, B
n×p
, C
n×p
[A · (B + C) = A · B + A · C];
(xi) ∀ λ, A
m×n
, B
n×p
[(λ · A) · B = A · (λ · B) = λ · (A · B)];
(xii) ∀ A
m×n
, B
n×p
, C
p×q
[(A · B) · C = A · (B · C)];
(xiii) ∃ E
n×n
∀ A
m×n
, B
n×p
[(A · E = A) ∧ (E · B = B)];
(xiv) ∀ A
m×n
[(A
t
)
t
= A];
(xv) ∀ A
m×n
, B
m×n
[(A + B)
t
= A
t
+ B
t
];
(xvi) ∀ λ, A
m×n
[(λ · A)
t
= λ · A
t
];
(xvii) ∀ A
m×n
, B
n×p
[(A · B)
t
= B
t
· A
t
].
Доказательство. 1. Прежде всего заметим, что первые восемь
законов, (i) — (viii), относящиеся к первым двум алгебраическим
операциям (сложению матриц и умножению матрицы на число; на-
помним, что они называются линейными), фактически не требуют
доказательства. Причиной этого является поэлементный характер
линейных операций. Они производятся отдельно в каждой матрич-
ной позиции над располагающимися в этой позиции действитель-
ными числами, поэтому можно просто сослаться на аксиомы поля
1 — 8 .
§2                  Законы матричной алгебры                         29




     (i)     ∀ A , B , C [(A + B) + C = A + (B + C)];
              m×n m×n m×n
     (ii)    ∀ A , B [A + B = B + A];
              m×n m×n
     (iii)   ∃ O ∀ A [A + O = O + A = A];
              m×n   m×n
     (iv)    ∀ A ∃ B [A + B = O];
              m×n   m×n
     (v)     ∀ λ, µ, A [(λ + µ) · A = λ · A + µ · A];
                    m×n
     (vi)    ∀ λ, A , B [λ · (A + B) = λ · A + λ · B];
                 m×n m×n
     (vii) ∀ λ, µ, A [(λ · µ) · A = λ · (µ · A)];
                    m×n
     (viii) ∀ A [1 · A = A];
              m×n
     (ix)    ∀ A , B , C [(A + B) · C = A · C + B · C];
              m×n m×n n×p
     (x)     ∀ A , B , C [A · (B + C) = A · B + A · C];
              m×n n×p n×p
     (xi)    ∀ λ, A , B [(λ · A) · B = A · (λ · B) = λ · (A · B)];
                 m×n n×p
     (xii) ∀ A , B , C [(A · B) · C = A · (B · C)];
              m×n n×p p×q
     (xiii) ∃ E ∀ A , B [(A · E = A) ∧ (E · B = B)];
              n×n   m×n n×p

     (xiv) ∀ A [(At )t = A];
              m×n

     (xv) ∀ A , B [(A + B)t = At + B t ];
              m×n m×n

     (xvi) ∀ λ, A [(λ · A)t = λ · At ];
                 m×n

     (xvii) ∀ A , B [(A · B)t = B t · At ].
              m×n n×p


   Доказательство. 1. Прежде всего заметим, что первые восемь
законов, (i) — (viii), относящиеся к первым двум алгебраическим
операциям (сложению матриц и умножению матрицы на число; на-
помним, что они называются линейными), фактически не требуют
доказательства. Причиной этого является поэлементный характер
линейных операций. Они производятся отдельно в каждой матрич-
ной позиции над располагающимися в этой позиции действитель-
ными числами, поэтому можно просто сослаться на аксиомы поля
 1 — 8 .

Страницы