Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

28 Системы линейных уравнений и алгебра матриц Гл. 1
B
n×m
= A
m×n
t
; b
ji
= a
ij
; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n. (2.1)
Пример 2.1 иллюстрирует данное выше определение:
A =
µ
1 2 3
4 −5 6
; B =
µ
1 2
2 1
; C = ( −3 ) ;
A
t
=
1 4
2 −5
3 6
; B
t
= B; C
t
= C.
Замечание 2.2. Вектор-строку можно представить как транспо-
нированный вектор-столбец:
( a
1
a
2
... a
n
) =
a
1
a
2
...
a
n
t
= ¯a
t
. (2.2)
Если нам понадобится различать арифметическое линейное про-
странство векторов-столбцов (1.7) и аналогичное пространство век-
торов-строк, то для последнего будет использоваться обозначение:
∗
R
n
= Mat(1, n; R) = {¯x
t
= ( x
1
x
2
... x
n
); x
i
∈ R, i = 1, ..., n}. (2.3)
2.3. Законы для алгебраических операций над матрица-
ми. Ниже будет сформулирована теорема с перечислением основ-
ных законов матричной алгебры. Обращайте внимание на указыва-
емые под символами матриц размеры (числа m, n, p, q и т. д.), ко-
торые могут принимать произвольные натуральные значения; ска-
лярные величины обозначаются греческими буквами (λ, µ и т. д.) и
могут принимать произвольные действительные значения.
Теорема 2.1. В множестве всех матриц с элементами из поля
R определены: 1) частичная алгебраическая операция (1.4) — сло-
жение матриц одинакового размера; 2) операция (1.5) — умноже-
ние матриц на действительные числа; 3) частичная операция (1.6) —
умножение матриц согласованных размеров; 4) операция транспони-
рования матриц (2.1). Эти алгебраические операции удовлетворяют
следующим законам:
28       Системы линейных уравнений и алгебра матриц                           Гл. 1


                             t
             B = A               ; bji = aij ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.    (2.1)
            n×m       m×n

     Пример 2.1 иллюстрирует данное выше определение:
                  µ    ¶       µ      ¶
               1 2 3              1 2
           A=            ; B=           ; C = ( −3 ) ;
               4 −5 6             2 1
                         
                     1 4
              At =  2 −5  ; B t = B; C t = C.
                     3 6

  Замечание 2.2. Вектор-строку можно представить как транспо-
нированный вектор-столбец:
                                                     t
                                                  a1
                                                 a 
                      ( a1       a2   ... an ) =  2  = āt .                  (2.2)
                                                  ...
                                                  an

  Если нам понадобится различать арифметическое линейное про-
странство векторов-столбцов (1.7) и аналогичное пространство век-
торов-строк, то для последнего будет использоваться обозначение:
  ∗
 Rn = Mat(1, n; R) = {x̄t = ( x1 x2 ... xn ); xi ∈ R, i = 1, ..., n}. (2.3)

  2.3. Законы для алгебраических операций над матрица-
ми. Ниже будет сформулирована теорема с перечислением основ-
ных законов матричной алгебры. Обращайте внимание на указыва-
емые под символами матриц размеры (числа m, n, p, q и т. д.), ко-
торые могут принимать произвольные натуральные значения; ска-
лярные величины обозначаются греческими буквами (λ, µ и т. д.) и
могут принимать произвольные действительные значения.

  Теорема 2.1. В множестве всех матриц с элементами из поля
R определены: 1) частичная алгебраическая операция (1.4) — сло-
жение матриц одинакового размера; 2) операция (1.5) — умноже-
ние матриц на действительные числа; 3) частичная операция (1.6) —
умножение матриц согласованных размеров; 4) операция транспони-
рования матриц (2.1). Эти алгебраические операции удовлетворяют
следующим законам:

Страницы