Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 27 стр.

§2                 Законы матричной алгебры                    27

  Помимо поля R, вам уже знакомо поле рациональных чисел Q. А
вот множество целых чисел Z полем не является. (Почему?) В этой
книге до конца четвертой главы мы будем работать "над полем R";
рассматриваемые матрицы и векторы будут иметь действительные
элементы. В пятой главе вводится в обращение поле C комплексных
чисел. Однако поскольку все доказываемые результаты и все прово-
димые вычисления опираются лишь на аксиомы поля 1 — 9 , то
они остаются в силе "над любым полем P ". Если вы готовы к такому
абстрагированию, то можете всюду в дальнейшем (мысленно) заме-
нять букву R на букву P (где P — произвольное поле). В частности,
можно рассматривать арифметические линейные пространства P n ,
матрицы с элементами из поля P и т. д.
  Условие 1 6= 0 равносильно требованию наличия в поле как мини-
мум двух различных элементов: нулевого и единичного. Существует
поле, в котором, кроме этих элементов, никаких других больше нет.
Обозначается это поле F2 , и арифметика в нем полностью задается
определением 1 + 1 = 0.
  (Внимание, компьютерщики! С этим, пока необычным для вас,
полем вам предстоит активно работать в теории кодирования.)

   2.2. Алгебраическая система матриц. Операция транспо-
нирования. В множестве всех матриц с действительными элемен-
тами мы уже ввели три алгебраические операции: сложение матриц
(1.4), умножение матрицы на скаляр (1.5) и умножение матриц (1.6).
Обратим внимание на то, что (в отличие от поля R) операции сложе-
ния и умножения матриц не всюду определены (т. е. применимы не к
любым парам матриц), а также на то, что при умножении матрицы
на скаляр сомножители не равноправны (принадлежат различным
множествам).
   Введем еще одну (четвертую) алгебраическую операцию в множе-
стве матриц (у нее тоже будет своя особенность: она будет действо-
вать на один аргумент).
   Определение 2.1. Матрицей, транспонированной к (m × n)-ма-
трице A, называется (n×m)-матрица (обозначаемая At ), которая по-
лучается из матрицы A превращением строк в столбцы (и наоборот)
с сохранением их порядка или, иначе говоря, симметричным отра-
жением матрицы относительно так называемой главной диагонали
(составленной из элементов матрицы, для которых номер строки и
номер столбца совпадают).
     Формулой операцию транспонирования можно задать так: