Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 26 стр.

26     Системы линейных уравнений и алгебра матриц                 Гл. 1

   1 ∀a, b, c [ (a + b) + c = a + (b + c) ] — ассоциативность сложения;
   2 ∀a, b [ a + b = b + a ] — коммутативность сложения;
   3 ∃ 0 ∀a [ a + 0 = a ] — существование нуля (единственность нуля
выводима из 2 , 3 );
   4 ∀a ∃ b [ a + b = 0 ] — существование противоположного элемен-
та (числа) [его единственность выводима из предыдущих законов;
однозначно определенный противоположный элемент обозначается
b = −a; затем определяется операция вычитания: c − a = c + (−a)];
   5 ∀a, b, c [ (a + b) · c = a · c + b · c ] — дистрибутивность умножения
относительно сложения;
   6 ∀a, b, c [ (a · b) · c = a · (b · c) ] — ассоциативность умножения;
   7 ∀a, b [ a · b = b · a ] — коммутативность умножения;
   8 ∃ 1 ∀a [ a · 1 = a ] — существование единицы (единственность
единицы выводима из 7 , 8 );
   9 ∀a 6= 0 ∃ b [ a · b = 1 ] — существование обратного элемента (чис-
ла) [его единственность выводима из 6 — 8 ; однозначно опреде-
ленный обратный элемент обозначается b = a−1 ; затем определяется
операция деления: c/a = c · a−1 ].
   Другие свойства операций сложения и умножения (например:
a · 0 = 0; (a − b) · c = a · c − b · c и т. п.) выводимы из основных
законов 1 — 9 .
   Замечание 2.1. Студент-математик должен постепенно "дозреть"
до осознания необходимости доказывать свойства алгебраических
операций над числами (даже натуральными). Обычно это дости-
гается на старших курсах, где изучается специальная математиче-
ская дисциплина "Числовые системы", в которой прослеживается
развитие понятия числа, начиная с множества натуральных чисел,
с последовательным построением множеств целых, рациональных,
действительных чисел и т. д. Но уже в ближайшее время в курсе
алгебры нам встретятся другие алгебраические системы, составлен-
ные не из чисел, а из каких-либо иных математических объектов
и также наделенные алгебраическими операциями (типа сложения
и умножения). Для этих операций встанет вопрос о выполнимости
законов, аналогичных вышеприведенным законам для R.
   Если в алгебраической системе выполняются все законы 1 — 9
и, кроме того, 1 6= 0, то такая система называется полем. Сами эти
законы именуются аксиомами поля.