Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

24 Системы линейных уравнений и алгебра матриц Гл. 1
Определение 1.1. Решением с.л.у. (1.10) называется такой век-
тор-столбец ¯x
0
∈ R
n
, при подстановке которого вместо неизвестного
вектора ¯x в (1.10) это уравнение обращается в истинное матричное
равенство. Множество решений с.л.у. (1.10) определяется как под-
множество в R
n
, состоящее из всех решений (1.10):
L = {¯x ∈ R
n
: A · ¯x =
¯
b}. (1.11)
Решить с.л.у. это значит найти множество L.
Замечание 1.2. В формуле (1.11) мы не ставим верхний нулик в
обозначении решения: символ ¯x
0
будет обозначать одно (какое-либо
конкретное) решение системы, а в (1.11) берутся все решения. Да-
лее будет использоваться еще и такая терминология: конкретные
решения с.л.у. будут именоваться ее частными решениями; форму-
ла, описывающая множество L всех решений с.л.у., будет называться
общим решением этой системы.
Определение 1.2. 1. С.л.у. (1.10) называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение, т. е. если L 6= ∅. В противном
случае, т. е. если L = ∅, с.л.у. называется несовместной.
2. Совместная с.л.у. называется определенной, если она имеет
единственное решение, т. е. если множество ее решений L состоит
из единственного элемента (вектора). В противном случае, т. е. если
L содержит более одного элемента, с.л.у. называется неопределенной.
Пример 1.2. Рассмотрим следующую систему из m = 3 линей-
ных уравнений с n = 4 неизвестными:
−2x
1
+ x
2
− x
3
− 2x
4
= 0 ;
6x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 5x
4
= −1;
4x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 3x
4
= −1.
Матричная запись этой системы будет иметь вид
−2 1 −1 −2
6 −3 2 5
4 −2 1 3
·
x
1
x
2
x
3
x
4
=
0
−1
−1
.
Проверьте (подставив вектор в матричное уравнение), что
24       Системы линейных уравнений и алгебра матриц           Гл. 1

  Определение 1.1. Решением с.л.у. (1.10) называется такой век-
тор-столбец x̄0 ∈ Rn , при подстановке которого вместо неизвестного
вектора x̄ в (1.10) это уравнение обращается в истинное матричное
равенство. Множество решений с.л.у. (1.10) определяется как под-
множество в Rn , состоящее из всех решений (1.10):

                      L = {x̄ ∈ Rn : A · x̄ = b̄}.             (1.11)

     Решить с.л.у. это значит найти множество L.
   Замечание 1.2. В формуле (1.11) мы не ставим верхний нулик в
обозначении решения: символ x̄0 будет обозначать одно (какое-либо
конкретное) решение системы, а в (1.11) берутся все решения. Да-
лее будет использоваться еще и такая терминология: конкретные
решения с.л.у. будут именоваться ее частными решениями; форму-
ла, описывающая множество L всех решений с.л.у., будет называться
общим решением этой системы.
   Определение 1.2. 1. С.л.у. (1.10) называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение, т. е. если L 6= ∅. В противном
случае, т. е. если L = ∅, с.л.у. называется несовместной.
   2. Совместная с.л.у. называется определенной, если она имеет
единственное решение, т. е. если множество ее решений L состоит
из единственного элемента (вектора). В противном случае, т. е. если
L содержит более одного элемента, с.л.у. называется неопределенной.
  Пример 1.2. Рассмотрим следующую систему из m = 3 линей-
ных уравнений с n = 4 неизвестными:
             
              −2x1   + x2     − x3       − 2x4      =   0;
                6x1   − 3x2    + 2x3      + 5x4      =   −1;
             
                4x1   − 2x2    + x3       + 3x4      =   −1.

     Матричная запись этой системы будет иметь вид

                                  x1        
                −2    1    −1 −2               0
                6                  x 
                      −3   2  5  ·  2  =  −1  .
                                     x3
                 4    −2   1  3               −1
                                     x4

     Проверьте (подставив вектор в матричное уравнение), что

Страницы